Cauchy-Produkt

01.09.2015, 18:31	dkgv11	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Produkt Meine Frage: Hallo nochmal, könnte mir jemand von euch sagen ob meine Vorgehensweise korrekt ist und wenn nicht, was ich denn falsch mache? Wäre euch wirklich super dankbar!! Das Beispiel lautet.. Zeigen Sie unter Verwendung des Cauchy-Produktes dass gilt: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(-3)^{n} }{n!})^{2} =\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(-6)^{n} }{n!} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(-3)^{n} }{n!})^{2} =\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(-6)^{n} }{n!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(-3)^{n} }{n!}) (\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(-3)^{n} }{n!}) = \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(-6)^{n} }{n!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\frac{(-3)^0}{0!} + (\frac{(-3)^1}{1!} + (\frac{(-3)^2}{2!} + ... (\frac{(-3)^n}{n!} + ...) * (\frac{(-3)^0}{0!} + (\frac{(-3)^1}{1!} + (\frac{(-3)^2}{2!} + ... (\frac{(-3)^n}{n!} + ...) \end{eqnarray}$ n=0 $\begin{eqnarray} \Rightarrow (\frac{(-3)^0}{0!} * (\frac{(-3)^0}{0!}) \end{eqnarray}$ n=1 $\begin{eqnarray} \Rightarrow (\frac{(-3)^0}{0!} * (\frac{(-3)^1}{1!} + \frac{(-3)^1}{1!} * (\frac{(-3)^0}{0!}) \end{eqnarray}$ n=2 $\begin{eqnarray} \Rightarrow (\frac{(-3)^0}{0!} * (\frac{(-3)^2}{2!} + \frac{(-3)^1}{1!} * \frac{(-3)^1}{1!} + \frac{(-3)^2}{2!} * \frac{(-3)^0}{0!}) \end{eqnarray}$ Dies ist gleichbedeutend mit: n=2 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} * (-3)^0 * (-3)^2 + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} * (-3)^1 * (-3)^1 + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} * (-3)^2 * (-3)^0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-3-3)^2 = 36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-3-3)^n = -6^n \end{eqnarray}$ Allgemeine Zeile Cauchy Produkt $\begin{eqnarray} \frac{(-6)^n}{n!} \end{eqnarray*}$ Willkommen im Matheboard! Du bist hier mit zwei Accounts angemeldet. Daher werden wir dkgv12 demnächst löschen. Viele Grüße Steffen
01.09.2015, 19:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
n=0,1,2 ist kein Beweis für allgemeines n. Es sollte irgendwann das Stichwort "Binomischer Satz" o.ä. fallen.
01.09.2015, 20:09	dkgv10	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-produkt Hallo Hal 9000, danke vorerst für dien schnelle Antwort! Ich bin mir nicht sicher ob ich dich richtig verstanden habe. Meinst du vielleicht das ich das ganze in etwa so schreiben soll ? $\begin{eqnarray} \frac{(-3)^0}{0!} \frac{(-3)^n}{n!} + \frac{(-3)^1}{1!} * \frac{(-3)^{n-1} }{(n-1)!} + \frac{(-3)^2}{2!} * \frac{(-3)^{n-2} }{(n-2)!} + ... + \frac{(-3)x^{n-1} }{(n-1)!} * \frac{(-3)^{1} }{1!} + \frac{(-3)^{n} }{(n)!} * \frac{(-3)^{0} }{0!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} * (-3)^0 (-3)^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} (-3)^{1} (-3)^{n-1} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} (-3)^{2} (-3)^{n-2} + ... + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} (-3)^{n-1} (-3)^{1} + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} (-3)^{n} (-3)^{0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-3-3)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-6)^n \end{eqnarray}$
02.09.2015, 08:24	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-produkt Nun, es geht schon darum das Cauchyprodukt auch einzubringen! Etwa mit folgendem Ansatz: $\begin{eqnarray} \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-3)^n}{n!}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n\frac{(-3)^k}{k!}\cdot\frac{(-3)^{n-k}}{(n-k)!}\right)=\ldots \end{eqnarray}$ Bei den weiteren Umformungen solltest Du im Hinterkopf haben, dass $\begin{eqnarray} 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}. \end{eqnarray}$
02.09.2015, 09:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich plädiere dafür, gleich allgemein $\begin{align} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!} \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{b^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+b)^n}{n!} \end{align}$ für alle $\begin{align} a,b\in\mathbb{R}\qquad () \end{align}$ . nachzuweisen: Zum einen ist der Beweis auch nicht aufwändiger als im hier geforderten Spezialfall $\begin{align} a=b=-3 \end{align}$ , zum anderen kann man es ja vielleicht nochmal gebrauchen im Zusammenhang mit der Exponentialfunktion. Der Beweis läuft strukturell genauso ab wie von Matt Eagle gerade skizziert: Man bekommt die Cauchy-Produktreihe $\begin{align} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!} \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{b^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \end{align}$ mit $\begin{align} c_n = \sum_{k=0}^n \frac{a^k}{k!}\cdot \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} \end{align}$ . Erweiterung mit $\begin{align} n! \end{align}$ sowie der Einsatz des Binomischen Satzes erbringt $\begin{align} c_n = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} a^kb^{n-k} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{n-k} = \frac{1}{n!}(a+b)^n \end{align}$ und damit den Beweis von ().
04.09.2015, 18:41	Dkgv9	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe es dank euch endlich verstanden !!! Danke Danke Danke
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