Isometrie, Spiegelung, Spiegelmatrix

02.09.2015, 14:10	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Isometrie, Spiegelung, Spiegelmatrix Meine Frage: Hallo, ich sitze gerade an der Prüfungsvorbereitung für Elementargeometrie und habe ein kleines Verständnisproblem. Im Skript haben wir eine Spiegelung wie folgt definiert: Sei $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb R^2 , \alpha \end{eqnarray}$ beliebig $\begin{eqnarray} \phi(x) = S_{\alpha}(x - x_0) + x_0 \end{eqnarray}$ Weiterhin: $\begin{eqnarray} S_{\alpha} := \begin{pmatrix} cos{\alpha} & sin{\alpha} \\ sin{\alpha} & -cos{\alpha} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um mir das Ganze zu veranschaulichen, habe ich mir ein Beispiel ausgedacht: Sei $\begin{eqnarray} x_0 = (3,3), x=(5,5), \alpha = \pi \end{eqnarray}$ Meine Ideen: So jetzt habe ich: $\begin{eqnarray} <br /> \phi(x) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot (\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}) + \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} <br /> = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} <br /> = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} \\<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich mir das skizziere müsste meiner Meinung nach aber $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rauskommen. Liegt der Fehler in meiner Rechnung oder in meinem Vorstellungsvermögen? Oder gar in der Definition? Danke für eure Hilfe PS: Vielleicht kann mir auch gleich mal jemand erklären, wie das hier mit align* funktioniert, hab's irgendwie nicht hinbekommen :-/
02.09.2015, 14:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(1,5) ist richtig. Wie es sein muss ist das die Spiegelung an der Geraden y=3. (vgl. Wiki: https://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelungsmatrix ) . Der Punkt (x,y) wird auf (-x+6,y) abgebildet.
02.09.2015, 14:30	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Kannst du mir vielleicht erklären, was genau der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ hier aussagt? Ich glaube daher rührt mein Problem in der Vorstellung
02.09.2015, 15:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Punkte $\begin{align} E = \left( 1 \, , \, 0 \right) \, , \ F = \left( 0 \, , \, 1 \right) \, ; \ \ P = \left( \cos \alpha \, , \, \sin \alpha \right) \, , \ Q = \left( \sin \alpha \, , \, - \cos \alpha \right) \end{align}$ Bei der durch die Matrix $\begin{align} S_{\alpha} \end{align}$ vermittelten Abbildung gilt: $\begin{align} E \mapsto P \, , \ \ F \mapsto Q \end{align}$ Markiere als $\begin{align} P \end{align}$ irgendeinen Punkt auf dem Einheitskreis. Er hat das Argument $\begin{align} \alpha \end{align}$ (Winkel zur positiv gerichteten $\begin{align} x \end{align}$ -Achse). Wenn man die Koordinaten von $\begin{align} P \end{align}$ vertauscht und dann bei der zweiten Koordinate das Vorzeichen ändert, erhält man die Koordinaten von $\begin{align} Q \end{align}$ . Geometrisch heißt das: Drehe $\begin{align} P \end{align}$ um 90° im Uhrzeigersinn um den Ursprung, dann erhältst du $\begin{align} Q \end{align}$ . Markiere entsprechend dieser Maßgabe den Punkt $\begin{align} Q \end{align}$ auf dem Einheitskreis. Markiere zum Schluß noch die Punkte $\begin{align} E \end{align}$ und $\begin{align} F \end{align}$ . Du weißt sicher noch aus der Schule, wie eine Achsenspiegelung funktioniert. An welcher Geraden wird also hier gespiegelt?
02.09.2015, 17:50	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich jetzt wie in meinem Beispiel $\begin{eqnarray} \alpha = \pi \end{eqnarray}$ setze und mir das am Einheitskreis anschaue, so wie du es beschrieben hast, wird an der y-Achse gespiegelt. In meinem Beispiel wäre es dann die Gerade x=3. Ich würde sagen die Spiegelachse ist die Winkelhalbierende von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ?
02.09.2015, 17:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es wird an der Winkelhalbierenden gespiegelt. Du kannst ja einmal nachrechnen, daß $\begin{align} p = \begin{pmatrix} \cos \frac{\alpha}{2} \\ \sin \frac{\alpha}{2} \end{pmatrix} \end{align}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist: $\begin{align} S_{\alpha} \cdot p = p \end{align}$ Denke an trigonometrische Umrechnungsformeln (Verdoppelung des Arguments, Additionstheoreme). Ich finde es gut, wenn man sich ein zunächst etwas undurchsichtiges Problem an Beispielen veranschaulicht. Es ist jedoch gefährlich, wenn die Beispiele zu simpel sind. Die Wahl $\begin{align} \alpha = \pi \end{align}$ ist doch arg speziell. Vermeide besondere Winkel wie 180°, 90°, 60°.
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02.09.2015, 18:06	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen. Ich habe mir am Einheitskreis noch ein anderes Beispiel angeschaut, um wie du sagst, einen weniger speziellen Winkel zu betrachten, das hat mir meine Vermutung noch einmal bestätigt Mein Problem lag wohl wirklich darin, dass ich nicht so recht wusste, was der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zu bedeuten hat.

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