Wie Tupel auf weniger Elemente begrenzen?

02.09.2015, 22:42

Ungelehrter

Wie Tupel auf weniger Elemente begrenzen?

$\begin{eqnarray*} R := \{(a_1, ..., a_n) \mid a_1 \in A_1, ..., a_n \in A_n\} \end{eqnarray*}$

Nun werden die Elemente von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ selten mit $\begin{eqnarray*} (a_1, ..., a_n) \end{eqnarray*}$ angesprochen, sondern eher mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} r \in R \end{eqnarray*}$ und in diesem Sinne $\begin{eqnarray*} r = (a_1, ..., a_n) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich die Tupel von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nun, der Kürze wegen, stets mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ anspreche, wie kann ich sie beschränken?

Also welche z.B. Operation könnte ich auf das konkrete Tupel $\begin{eqnarray*} (a, b, c, d) \end{eqnarray*}$ anwenden, von dessen Elementen wir wissen, dass sie wiederum Elemente von Mengen sind: $\begin{eqnarray*} a \in A, b \in B, c \in C, d \in D \end{eqnarray*}$ damit gilt:

$\begin{eqnarray*} (a, b, c, d) = (a, d) \end{eqnarray*}$

Ist so etwas hier erlaubt?

$\begin{eqnarray*} (a, b, c, d)_{(A, D)} = (a, d) \mid a \in A, d \in D \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} r_{(A, D)} = (a, d) \mid r = (a, b, c, d) \land a \in A, d \in D \end{eqnarray*}$

Mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} r_{(A, D)} \end{eqnarray*}$ möchte ich ausdrücken, dass das Tupel auf die beiden Werte reduziert wurde, die sich in den Mengen des kleingestellten Tupels in dieser Reihenfolge befinden.

Es wäre umgekehrt zur obigen Reihenfolge $\begin{eqnarray*} r_{(D, A)} = (a, d) \end{eqnarray*}$ . Darf ich diese Schreibweise so festlegen? Oder gibt es schon eine? Wenn ja, wo finde ich die Definition?

Vielen Dank für hilfreiche Anregungen.

03.09.2015, 00:12

Captain Kirk

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Hallo,

was du vermutlich suchst ist die Projektion:
de.wikipedia.org/wiki/Relationale_Algebra#Projektion

04.09.2015, 18:39

Ungelehrter

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Vielen Dank für deine Anteilnahme.

Was ich suche, ist etwas, um u.a. die Projektion definieren zu können.

(1)

Die Definition der Projektion auf Wikipedia, ist wirklich oberflächlich. Ich zitiere mal:

Zitat:

https://de.wikipedia.org/wiki/Relationale_Algebra

Definition
Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ eine Relation über $\begin{eqnarray*} \{A_1, ..., A_k\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \subseteq \{A_1, ..., A_k\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \pi_{\beta}(R):=\{t_{\beta}|t \in R\} \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} t_{\beta} := (\beta) \end{eqnarray*}$ , das heißt, die Tupel erhalten nur die Attribute aus der Attributliste $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

Die letzte Erklärung ist doch wohl ein Witz ... . $\begin{eqnarray*} t_{\beta} \end{eqnarray*}$ ist kein Stück definiert. Damit kann man gar nichts anfangen.

(2)

Die bisher beste Beschreibung, und daraus lässt sich nicht ableiten, dass sie ausreichend sei, fand ich hier:
http://www.uni-weimar.de/medien/webis/te...nal-algebra.pdf
Dort wird mittels Projektion eine neue Menge gebildet. Vorsicht: Der Kleinbuchstabe $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ bezeichnet eine Relation. Wie für Mengen üblich, verwendet man eigentlich einen Großbuchstaben.

Zitat:

Syntax: $\begin{eqnarray*} \pi_\alpha(r) \end{eqnarray*}$

Semantik: $\begin{eqnarray*} \{t(\alpha) \mid t \in r\} \end{eqnarray*}$

Weiterhin wurde in der Quelle folgende absolut nötige Beschreibung hinzugefügt, was ich bei bisher keiner Lektüre gelesen habe und mich schon immer stutzig machte:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist eine Menge; entsprechend müsste man z.B. bei $\begin{eqnarray*} \alpha = \{InvNr, ISBN\} \end{eqnarray*}$ die Selektion $\begin{eqnarray*} \pi_\alpha \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \pi_{\{InvNr, ISBN\}} \end{eqnarray*}$ notieren. Die Notation von Attributnamen ohne Mengenklammern im Index ist formal unsauber, hat sich in der Datenbankliteratur aber durchgesetzt.

Jetzt habe ich schon zwei unterschiedliche Syntaxen für die Beschränkung eines Tupels $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf eine Menge $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} t_\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t(\alpha) \end{eqnarray*}$
Und immer noch keine korrekte Definition davon.

04.09.2015, 18:53

Captain Kirk

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Suchst du also die Defintion der Projektionsabbildung:
$\begin{eqnarray*} \pi_I: \prod_{i=1}^{n} A_i \to \prod_{i \in I} A_i ; \quad (x_1 ,\ldots , x_n)\mapsto (x_i)_{i \in I} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} I \in [1,n] \end{eqnarray*}$ ?

04.09.2015, 19:25

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Captain Kirk
wobei $\begin{eqnarray*} I \in [1,n] \end{eqnarray*}$ ?

Ich wäre eher für $\begin{eqnarray*} I\subseteq[1,n] \end{eqnarray*}$ .

04.09.2015, 20:26

Leopold

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Ich mußte damals schon schmunzeln:

Zitat:

Original von Ungelehrter aus [Mengenlehre] Elemente einer nicht genau definierten Menge auflisten
@Leopold
Vielen Dank für deine Anteilnahme.

Jetzt wieder:

Zitat:

Original von Ungelehrter
Vielen Dank für deine Anteilnahme.

05.09.2015, 12:03

Ungelehrter

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Suchst du also die Defintion der Projektionsabbildung:
$\begin{eqnarray*} \pi_I: \prod_{i=1}^{n} A_i \to \prod_{i \in I} A_i ; \quad (x_1 ,\ldots , x_n)\mapsto (x_i)_{i \in I} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} I \in [1,n] \end{eqnarray*}$ ?

Könnte vielleicht jemand erklären, was da steht? Ich als Nicht-Mathematiker kann daraus nicht viel ablesen. Ich verstehe noch, dass dort wohl Mengen aufmultipliziert werden ... und der Pfeil? Ich das ein Implikationspfeil? Was heißt das danach? Und wieso ist $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein Element (oder Teilmenge) aus einer Reihe von Zahlen?

@Leopold

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das Kritik sein sollte ... . unglücklich

Die Sache ist Folgende. Ich bin mittlerweile ein alter Mensch, der Bildung zu spät schätzen gelernt hat und nun darunter leidet. Mir fehlt nicht nur die Zeit sondern auch die gewisse geistige Potenz, um mir Mathematik effektiv aneignen zu können.
Die Hilfe, die in so einem Forum geboten wird, ist freiwillig und bedeutet wirklich sehr viel.
Daher bedanke ich mich stets bei denjenigen, die sich meinen wirklich seltsamen Themen widmen ...

05.09.2015, 12:10

HAL 9000

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Sieh es locker, Leopold hat ja deutlich "schmunzeln" erwähnt, und mir geht es ähnlich: "Anteilnahme" hat ja irgendwie sowas Kondolenzartiges... Augenzwinkern

05.09.2015, 12:46

Captain Kirk

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Es muss natürlich $\begin{eqnarray*} I \subseteq [1,n] \end{eqnarray*}$ heißen. Zum Rest:

Zitat:

wohl Mengen aufmultipliziert

de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt
Das müsste dir eigentlich bereits bei der Definition deiner Relationen über den Weg gelaufen sein.

Zitat:

und der Pfeil? Ich das ein Implikationspfeil?

de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Definition
Das ist eine absolut grundlegende Notation der Mathematik.

Wenn du mathematische (bzw. informatische) Aussagen hinschreiben willst braucht es halt zumindest Grundkenntnisse in der Sprache der Mathematik. Egal ob Nicht-Mathematiker oder Mathematiker.

05.09.2015, 17:14

Ungelehrter

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@Captain Kirk

Vielen Dank!

Zitat:

Original von Captain Kirk
$\begin{eqnarray*} \pi_I: \prod_{i=1}^{n} A_i \to \prod_{i \in I} A_i ; \quad (x_1 ,\ldots , x_n)\mapsto (x_i)_{i \in I} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} I \subseteq [1,n] \end{eqnarray*}$

Ich weiß nun, dass $\begin{eqnarray*} \pi_I \end{eqnarray*}$ die Funktion ist, $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n} A_i \end{eqnarray*}$ ihre Definitionsmenge und $\begin{eqnarray*} \prod_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$ ihre Zielmenge. Was es zu bedeuten hat, wenn bei der Zielmenge das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf dem großen Pi fehlt, weiß ich nicht genau. War vielleicht ein Versehen. Und wie soll ich $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ deuten? Angenommen $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ hat mehr, als 1 Element. Welches nehme ich?

$\begin{eqnarray*} \quad (x_1 ,\ldots , x_n)\mapsto (x_i)_{i \in I} \end{eqnarray*}$ Ist die Zuordnungsvorschrift, aber die verwirrt mich auch. Sie ordnet jedem Element aus der Definitionsmenge ein Element der Zielmenge zu. Die Mächtigkeit der Elemente wird durch $\begin{eqnarray*} |I| \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Ich mache das mal alles konkreter:
$\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} I = \{1, 3\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \times A_3 = \{(a, 1, \square), (a, 1, \triangle), (b, 1, \square), (b, 1, \triangle)\} \end{eqnarray*}$

Nun ist unsere "Eingabe" $\begin{eqnarray*} (b, 1, \square) \end{eqnarray*}$ und unsere Ausgabe müsste $\begin{eqnarray*} (b, \square) \end{eqnarray*}$ sein, ist aber wohl nur $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , da es das erste Element im Tupel ist und die $\begin{eqnarray*} 1 \in I \end{eqnarray*}$ ?

Achso ...
Mit $\begin{eqnarray*} \prod_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$ könnte gemeint sein, dass für die Zielmenge jeder Wert in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ durchlaufen werden soll ... . Könnte man auch so etwas schreiben: $\begin{eqnarray*} \prod_{i \in I}^{|I|} A_i \end{eqnarray*}$ ? Wobei daraus auch nicht hervorgeht, ob bei der nächsten Iteration ein anderer Wert aus $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ entnommen werden soll.

Jetzt muss ich noch die formale Korrektheit der Darstellung des Funktionswertes $\begin{eqnarray*} (x_i)_{i \in I} \end{eqnarray*}$ hinterfragen. Hier steht ein Tupel mit nur einem Element. Ist das so korrekt geschrieben? Es müssten dort doch eigentlich alle Elemente im Tupel aufgelistet werden, die aus $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ resultieren, oder nicht?

Und zuletzt noch eine Frage. Wo finde ich die Quelle zu dieser Abbildung oder hast du sie selbst entworfen?

05.09.2015, 17:29

Captain Kirk

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Zitat:

War vielleicht ein Versehen

Nein vollkommene Absicht.
Die üblichen Konventionen finden sich z.B. hier:
de.wikipedia.org/wiki/Summe#Notation_mit_dem_Summenzeichen
()

Zitat:

Angenommen $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ hat mehr, als 1 Element. Welches nehme ich?

Jedes.

Zitat:

Die Mächtigkeit der Elemente wird durch $\begin{eqnarray*} |I| \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Die Elemente hier sind i.A. keine Mengen,haben also keine Mächtigkeit.

Zitat:

Nun ist unsere "Eingabe" $\begin{eqnarray*} (b, 1, \square) \end{eqnarray*}$ und unsere Ausgabe müsste $\begin{eqnarray*} (b, \square) \end{eqnarray*}$ sein

Nimm den Konjunktiv weg, das ist so.

Zitat:

da es das erste Element im Tupel ist und die $\begin{eqnarray*} 1 \in I \end{eqnarray*}$ ?

Keine Ahnung wie du auf die Idee kommst.

Zitat:

Mit $\begin{eqnarray*} \prod_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$ könnte gemeint sein, dass für die Zielmenge jeder Wert in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ durchlaufen werden sol

Auch hier: Spar dir den Konjunktiv, das ist damit gemeint.

Zitat:

Könnte man auch so etwas schreiben: $\begin{eqnarray*} \prod_{i \in I}^{|I|} A_i \end{eqnarray*}$ ?

Nein.

Zitat:

Hier steht ein Tupel mit nur einem Element.

Nein tut es nicht.

Zitat:

Es müssten dort doch eigentlich alle Elemente im Tupel aufgelistet werden, die aus $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ resultieren, oder nicht?

Sind sie ja auch.

Zitat:

Wo finde ich die Quelle zu dieser Abbildung oder hast du sie selbst entworfen?

ich hab sie hingeschrieben ohne eine Quelle zu konsultieren. Die Abbildung dürfte aber schon millionenfach notiert worden sein.

05.09.2015, 17:42

Ungelehrter

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sieh es locker, Leopold hat ja deutlich "schmunzeln" erwähnt, und mir geht es ähnlich: "Anteilnahme" hat ja irgendwie sowas Kondolenzartiges... Augenzwinkern

Das ist wohl wahr.^^ Nun ja, die Tragödie um meine (toten) Mathe-Kenntnisse haben in gewisser Weise auch etwas Kondolenzartiges ... . Augenzwinkern

Zitat:

Original von Captain Kirk
Die Elemente hier sind i.A. keine Mengen,haben also keine Mächtigkeit.

Sie sind doch Tupel und müssten damit entsprechend eine Mächtigkeit besitzen.

05.09.2015, 17:45

Captain Kirk

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Zitat:

Sie sind doch Tupel und müssten damit entsprechend eine Mächtigkeit besitzen.

ich hab den Begriff "Mächtigkeit eines Tupels" noch nie irgendwo gesehen. Länge oder evtl. Größe

05.09.2015, 17:55

Ungelehrter

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$\begin{eqnarray*} (x_i)_{i \in I} \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich auch das hier verstanden. Demnach müsste ..., ähm ist Augenzwinkern

, mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ein Laufindex gemeint, der die Elemente durch iteriert. Ich wusste wie so vieles nicht, dass ein solches Ausdrucksmittel existiert.

Ich danke dir vielmals! Du hast hier sehr Hilfreiches zu beigetragen, wie auch die anderen. Vielen Dank dafür.

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