Bedingte Wahrscheinlichkeit - Losglück

03.09.2015, 11:28

r4ndom19

Bedingte Wahrscheinlichkeit - Losglück

Hallo,

folgender Sachverhalt:
An einer Losbude gibt es 5 Lose, davon 2 Gewinne (X und Y), 3 Nieten.
//Edit: Der erste Käufer erwarb 3 Lose.

Situation 1:
Ich erfahre (als zweiter Käufer), dass der erste Käufer den Gewinn X erhalten hat. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Käufer 1 bereits beide Gewinne hat:
Die Wahrscheinlichkeit, dass X bzw. Y (Symmetrie) gewonnen wurde berechnet sich wie folgt:
$\begin{eqnarray*} P(X)=\frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} } = \frac{6}{10}=P(Y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X \cap Y)=\frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} P(X \cap Y | X)=\frac{P(X \cap Y)}{P(X \cup Y)} = 0.5 \end{eqnarray*}$

Situation 2:
Ich erfahre (als zweiter Käufer), dass der erste Käufer einen Gewinn erhalten hat. Wie hoch ist W., dass Käufer 1 beide Gewinne hat.

P(X), P(Y) und P(X und Y) bleiben gleich.
$\begin{eqnarray*} P(X \cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X \cap Y)=\frac{9}{10} \end{eqnarray*}$

=> gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$\begin{eqnarray*} P(X \cap Y | X \cup Y)=\frac{P(X \cap Y)}{P(X \cup Y)}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Erstens: Habe ich einen Fehler gemacht? Falls nein, wie ist das zu verstehen. Wieso wird die Wahrscheinlichkeit geringer, dass der erste Käufer beide Gewinne gezogen hat, wenn ich "nur" weiß, dass er etwas gewonnen hat? Ich weiß das Wahrscheinlichkeiten manchmal paradox sein können (Ziegenproblem), aber da konnte man sich durch "durchspielen" der Fälle überzeugen. Aber das kann ich einfach nicht nachvollziehen.

03.09.2015, 11:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von r4ndom19
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Käufer 1 bereits beide Gewinne hat

Irgendwie fehlt eine wichtige Information: Wieviel Lose hat Käufer 1 denn überhaupt gekauft???

03.09.2015, 12:14

r4ndom19

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Sorry, der erste Käufer hat 3 Lose gekauft.

03.09.2015, 13:14

HAL 9000

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Deine Rechnung ist richtig.

Bei 3 aus 5 (mit insgesamt 2 Gewinnlosen) irgendeinen Gewinn zu ziehen passiert nun mal öfter als in der gleichen Situation einen bestimmten Gewinn zu ziehen, ersteres ist also wahrscheinlicher. In beiden Fällen ist der Gewinn beider Preise ein Teilereignis, welches somit unter Prämisse der ersten Bedingung relativ seltener eintritt als unter der Prämisse der zweiten Bedingung.

03.09.2015, 13:44

r4ndom19

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Wenn man es unter dem Gesichtspunkt betrachtet wie du es schilderst, ist es doch schlüssig. Man braucht nur die richtige Betrachtungsweise.

Vielen Dank für deine Antwort!

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