Fundamentalgruppe Möbiusband

03.09.2015, 12:17

steviehawk

Fundamentalgruppe Möbiusband

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe mich schon paar mal gefragt, was wohl die Fundamentalgruppe des Möbiusbandes ist. Nun möchte ich endlich auch wissen smile

Ich möchte mich zunächst auch mit der Anschauung zufrieden stellen. Daher würde ich sagen, dass die Fundamentalgruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Die Wege die entlang der Mittellinie des Bandes verlaufen, also nicht sofort offensichtlich sich zu einem Punkt zusammenziehen lassen, umlaufen ja das Band beliebig oft. Also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mal für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

stimmt das denn?

04.09.2015, 09:16

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fundamentalgruppe Möbiusband
hallo,
habe im internet geforscht, das ist tatsächlich richtig. Freude

Das möbiusband hat genauer gesagt die fundamentalgruppe R^2/Z, und das ist wieder
isomorph zu Z.
Am besten du googlest unter "fundamentalgruppe möbiusband", dann kommst du
schnell zu "musterlösung klausur" von der uni stuttgart, aufgabe 6b), dort findest du allles. Augenzwinkern

gruss ollie3

04.09.2015, 12:30

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fundamentalgruppe Möbiusband
Hallo ollie3,

Ist es nicht so, dass das Möbiusband $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gerade als Quotient $\begin{eqnarray*} M = \mathbb R^2 / \mathbb Z \end{eqnarray*}$ entsteht?

In der Klausur steht ja dann: $\begin{eqnarray*} \pi_0(\mathbb R^2 / \mathbb Z) \cong \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Das heißt aber, so wie ich es verstehe, dass die Fundamentalgruppe des Möbiusbandes eben isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

Und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 / \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist ja das Möbiusband selbst.

Zitat:

Original von ollie3
Das möbiusband hat genauer gesagt die fundamentalgruppe R^2/Z, und das ist wieder
isomorph zu Z.

Daher verstehe ich nicht zu 100% wie du das gemeint hast verwirrt

04.09.2015, 15:05

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fundamentalgruppe Möbiusband
Hallo,
Sorry, du hast natürlich recht, ich hatte mich da unglücklich ausgedrückt. Hammer

Ich hatte fälschlich angenommen, das R^2/Z immer isomorph zu Z wäre, dann
Wäre ja R^2 isomorph zu Z^2, und das ist natürlich blödsinn. Big Laugh

Gruß ollie3

Neue Frage »

Antworten »

Fundamentalgruppe Möbiusband

Verwandte Themen