Eine von einer Metrik erzeugte Topologie

03.09.2015, 15:32

Ronan

Eine von einer Metrik erzeugte Topologie

Wir haben in der Analysisvorlesung gelernt, dass manche Topologien von Metriken erzeugt werden, zu Beispiel wird die euklidische Metrik von $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ und die diskrete Metrik ( P(X) ) von der diskreten Metrik erzeugt.

Ich verstehe aber den Zusammenhang nicht wirklich. Wie werden diese Topologien von Metriken erzeugt? Wie kann man herausfinden, was für eine Topologie von einer bestimmten Metrik erzeugt wird?

Sorry für die etwas komische frage, bin diesbezüglich nur etwas verwirrt...

03.09.2015, 15:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ronan
Wie werden diese Topologien von Metriken erzeugt?

Zumindest das ist sehr einfach: Sei $\begin{align*} (E,d) \end{align*}$ ein metrischer Raum.

Die Mengen $\begin{align*} U_{\varepsilon}(x_0):=\left\{ x\in E \bigm| d(x,x_0)<\varepsilon \right\} \end{align*}$ bilden für alle $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ (bzw. es genügt auch für abzählbare viele wie $\begin{align*} \varepsilon=\frac{1}{n} \end{align*}$ für $\begin{align*} n=1,2,\ldots \end{align*}$ ) eine Umgebungsbasis von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ , und über alle $\begin{align*} x_0\in E \end{align*}$ ist dadurch eine Topologie auf $\begin{align*} E \end{align*}$ definiert.

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Umgebung_%28Mathematik%29

03.09.2015, 16:22

Ronan

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Danke!

03.09.2015, 16:53

steviehawk

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Da ich gerade etwas Zeit habe möchte die Erklärungen von HAL 9000 etwas ergänzen. (Falls das nicht so gern gesehen ist hier im Board, kann der Beitrag ja von einem Mod gelöscht werden)

1) Was ist eine Topologie?

Eine Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal T \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge der Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \mathcal P \end{eqnarray*}$ , für welche die folgenden Eigenschaften gilt:

1) $\begin{eqnarray*} \emptyset, X \in \mathcal T \end{eqnarray*}$

2) beliebige Vereinigungen von Elementen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal T \end{eqnarray*}$ sind wieder in $\begin{eqnarray*} \mathcal T \end{eqnarray*}$

3) endliche Durchschnitte von Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathcal T \end{eqnarray*}$ sind wieder in $\begin{eqnarray*} \mathcal T \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf gerade solch ein Mengensystem mit diesen Eigenschaften zu definieren?

In der Analysis behandelt man unteranderem Räume auf denen sinnvoll ein Abstand zwischen einzelnen Elementen definiert werden kann. Die geschieht mittels einer Abstandsfunktion $\begin{eqnarray*} d:X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , welche Metrik genannt wird. Wir können beispielsweise jede beliebige nicht leere Menge durch die diskrete Metrik in einen metrischen Raum verwandeln. In metrischen Räumen betrachtet wiederum Teilmenge, welche gewisse Eigenschaften haben. Zum Beispiel die offenen Mengen. Dabei heißt eine Menge $\begin{eqnarray*} U \subset (X,d) \end{eqnarray*}$ offen, falls sie mit jedem Element auch einen offenen Ball um dieses Element enthält (der ganz in U liegt). Die Definition eines offenen Balls ist gerade das schöne an den metrischen Räumen. HAL 9000 hat mit $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x_0) \end{eqnarray*}$ ja bereits gezeigt, wie diese aussehen.

Nun stellt man fest, dass diese offenen Menge genau die Eigenschaften haben, die ich oben bei der Definition einer Topologie genannt habe.

Nun stellen wir uns vor, wir haben eine Topologie gegeben auf einer Trägermenge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ dann ist es interessant zu wissen, ob diese Topologie von einer Metrik stammt.

Warum soll das wichtig sein?

Weil daraus sehr nützliche Eigenschaften folgen. Zum Beispiel sind Räume, in welchen die Topologie von einer Metrik kommt stets haudorffsch. Wir können darin also Punkte durch Umgebungen trennen. Dies führt zur nützlichen Eigenschaft, dass dann Folgen auch wirklich nur einen Grenzwert haben. Es ist also wichtig, das zu wissen.

Um nun zu zeigen, dass eine Topologie von einer Metrik erzeugt wird reicht es eine Metrik anzugeben, welche die Topologie erzeugt.

Um zu zeigen, dass die Topologie von keiner Metrik erzeugt wird, reicht es natürlich nicht keine zu finden und aufzugeben. Man braucht gute Argumente, warum es keine Metrik geben kann. Man kann zum Beispiel über die haudorff - Eigenschaft argumentieren. Hierzu ein Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Menge, die mind. 2 Elemente besitzt. Also $\begin{eqnarray*} |X| \geq 2 \end{eqnarray*}$ . Zudem soll $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die folgendeTopologie tragen: $\begin{eqnarray*} \mathcal T_X = \{ \emptyset, X \} \end{eqnarray*}$ . Man nennt sie auch die indiskrete Topologie oder die Klumpentopologie. Wir nehmen nun an, dass diese Topologie von einer Metrik erzeugt wird, dann müssen sich 2 Elemente von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch offene Mengen trennen lassen, die wiederum disjunkt sind (hausdorff - Eigenschaft; diese besitzen alle metrischen Räume - kann man auch zeigen). Dies führen wir jetzt zu einem Widerspruch. Sei $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ unsere Metrik auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

Sei dann $\begin{eqnarray*} d(x,y) = \epsilon \end{eqnarray*}$ der Abstand unserer Elemente $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$

Nun nutzen wir die offenen Bälle, die wir ja in metrischen Räumen haben. Diese sind selbst auch offen, was man auch zeigen kann.

$\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x) = \{x' \in X | d(x,x') < \epsilon\} \end{eqnarray*}$ Dies ist eine offene Menge. Also muss sie in unserer Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal T_X \end{eqnarray*}$ liegen, da es gerade das System aller offenen Menge ist. Also ist $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ entweder leer (das kann nicht sein, da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ja darin liegt), oder eben ganz $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Das kann aber auch nicht sein, da ja $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht drin liegt. Also haben wir einen Widerspruch und damit gezeigt, dass die indiskrete Topologie auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht von einer Metrik kommt.

Um das ganze abzuschließen möchte ich noch bemerken, dass es auch verschiedene Metriken geben kann, die dieselbe Topologie erzeugen. Zum Beispiel auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ kann das passieren. Wir haben hier zum Beispiel die Metrik
$\begin{eqnarray*} d_a: \mathbb R^2 \to \mathbb R \ d_a(x,y) = ||x-y|| \end{eqnarray*}$ dies ist die wie üblich von der euklidischen Norm des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ induzierten Norm. Nun betrachten wir eine 2te Norm

$\begin{eqnarray*} d_b: \mathbb R^2 \to \mathbb R \ d_b(x,y) = ||x-y||_{max} \end{eqnarray*}$ dies ist die wie üblich die von der Maximumssnorm induzierte Metrik.

dann gilt: $\begin{eqnarray*} \mathcal T_{d_a} = \mathcal T_{d_b} \end{eqnarray*}$ , denn in jeden Ball der mit der einen Metrik erzeugt wurde passt ein Ball der mit der anderen Metrik erzeugt wurde. Daher habe wir 2 Teilmengeninclusionen, welche die Gleichheit liefert

Vielleicht hat es bisschen geholfen Wink