Matrixabbildungen Eigenschaften

03.09.2015, 16:43	Siggi2	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixabbildungen Eigenschaften Meine Frage: Hallo, mir kam gerade beim Nachdenken eine Frage in den Sinn, die ich mir nicht selbst beantworten kann. Angenommen ich habe eine Matrix A und eine die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} A: \mathbb R ^n \longrightarrow \mathbb R ^m , x \mapsto Ax \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wenn das LGS Ax = b nun unendlich viele Lösungen hat, folgt dann daraus, dass A surjektiv ist?
03.09.2015, 17:23	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixabbildungen Eigenschaften Hallo Siggi2, Wir betrachten $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sein die Nullmatrix. Dann hat doch das LGS $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ also im Grunde $\begin{eqnarray} 0_{n \times m}x = 0 \end{eqnarray}$ auch unendlich viele Lösungen. Aber $\begin{eqnarray} A: \mathbb R^n \to \mathbb R^m \ x \mapsto Ax \end{eqnarray}$ ist bestimmt nicht surjektiv, da zum Beispiel kein $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ existiert, dass auf $\begin{eqnarray} (1,1,...,1) \end{eqnarray}$ abgebildet wird. Odier ist die Nullmatrix in der Überlegung ausgeschlossen worden? Gruß Stevie
03.09.2015, 18:01	Siggi2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixabbildungen Eigenschaften Hallo, stimmt, wenn A die Nullmatrix ist, dann geht es schief. Danke für das Gegenbeispiel, daran habe ich nicht gedacht. Wenn jetzt A nicht die Nullmatrix, ist die Abbildung dann i.A. auch nicht surjektiv?
03.09.2015, 18:45	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixabbildungen Eigenschaften Hallo, Auch dss ist nicht der Fall. nochmal für b = 0 also ein homogenes lgs. A sei nicht die Nullmatrix. Ist A invertierbar, dann ist das LGS eindeutig lösbar. Nun soll es ja unendlich viele Lösungen geben. Das heißt aber nur, dass ich für x unendlich viele Möglichkeiten habe, so dass Ax = b gilt. Gegenbeispiel: A hat nur in a11 ne 1 und sonst Nullen überall. b sei (1,0,0,...,0) dann kann ich bei x ausser der ersten Komponente alle frei wählen, sicher habe so unendlich viele Lösungen. Aber den Vektor (2,2,2,...,2) bekomme ich nicht. Vielleicht kann man das auch allg. Über die Dimension lösen .. Gruß Sorry für die Darstellung, habe ich vom Handy aus gemacht
03.09.2015, 19:19	Siggi2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixabbildungen Eigenschaften Kein Problem, hab verstanden. Vielen Dank und schönen Abend noch!

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