Grenzwert einer Folge= 1/e

03.09.2015, 18:27	Sirius93	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge= 1/e Meine Frage: Hallo zusammen, Ich habe eine Folge $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{n+1})^{n} \end{eqnarray}$ und will wissen gegen welchen Wert diese konviergiert, bzw. ich weiß das der Grenzwert 1/e ist. Meine Ideen: Das Problem ist jetzt, dass ich weiß, dass $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray}$ als Grenzwert e hat. Allerdings weiß ich nicht, wie ich daraus ableiten soll, dass der Wert der obigen Folge 1/e ist. Ist sicher nicht schwer, ich steh nur gerade auf dem Schlauch... Danke schonmal für eure Hilfe
03.09.2015, 18:32	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Was unterscheidet diese Folge denn von der Definition?
03.09.2015, 18:43	Sirius93	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Definition? Die von (1+(1/n))^n --> e? Klar ist das die Definition, aber auch das Wissen hilft mir zum Lösen des oberen Grenzwertes nicht weiter.
03.09.2015, 18:47	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die eulersche Zahl ist als Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray} a_n=(1+\frac1n)^n \end{eqnarray}$ definiert. $\begin{eqnarray} e=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1n\right)^n \end{eqnarray}$ Meine Frage war, was nun der Unterschied zu deiner Folge und dem Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n \end{eqnarray}$ ist. Denn wenn du die Unterschiede beseitigst, kommst du weiter.
03.09.2015, 18:57	Sirius93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut, der Unterschied ist einmal, dass da nicht 1+ sondern 1- steht und der andere Unterschied ist, dass n+1 im Nenner steht und nicht n. Das kann ich auch wegbekommen: $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{n+1})^{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich aber noch das Minus da stehen und da weiß ich nicht, was ich machen soll.
03.09.2015, 19:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Minus bekommst du ganz einfach weg. Ist aber auch nicht so notwendig wie den Exponenten anzupassen. Es ist ja etwa $\begin{eqnarray} 2-1=2+(-1) \end{eqnarray}$ Wie haben jetzt also: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray}$ Was nun?
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03.09.2015, 19:13	Abakus95	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}} = 1 \end{eqnarray}$
04.09.2015, 13:43	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit einfacher Bruchrechnung $\begin{eqnarray} 1-\frac 1{n+1}=\frac n{n+1}=\frac 1{\frac{n+1}n}=\frac 1{1+\frac 1n} \end{eqnarray}$ steht's sofort da.

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