Unbekannte aus Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bestimmen

03.09.2015, 19:40

Fruchtbaum

Unbekannte aus Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
ich bearbeite momentan ein Aufgabe zu Wahrscheinlichkeitsfunktionen von Zufallsvariablen.
Folgende Funktion ist Gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x*e^{cx} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Die Frage: Welcher Wert ergibt sich für c?
Lösung ist c = -1

Meine Ideen:

Ansatz: $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_{0 }^{\infty } \! x*e^{cx} \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[((Cx-1)/c^{2})*e^{cx}\right]_{0}^{\infty } \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist leider der Wurm bei mir drin. Scheinbar setze ich die Grenze "Unendlich" falsch ein. Ich komme zu keiner Möglichkeit C nach dem Einsetzen der Grenzen freizustellen.
Die Lösung des Integrals hab ich aus der Integraltafel des Papulas (Integral 313).

Danke für Vorschläge und den Schubs in die richtige Richtung!

03.09.2015, 20:00

HAL 9000

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Wo ist das Problem?
Zum Stammfunktionswert an der oberen Grenze $\begin{align*} \infty \end{align*}$ : Für $\begin{align*} c>0 \end{align*}$ steht da $\begin{align*} \infty \end{align*}$ , für $\begin{align*} c<0 \end{align*}$ dagegen $\begin{align*} 0 \end{align*}$ .

03.09.2015, 21:11

Fruchtbaum

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Wo ist das Problem: Wie geschrieben, weiß ich nicht wie ich die Grenzen einzusetzen habe.

Da ich als obere Grenze $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und keine Natürliche Zahl habe, entsteht bei mir die Unsicherheit.

Also so setze ich momentan die Grenzen ein:

$\begin{eqnarray*} ((\infty*c-1)/c^{2})*e^{c\infty } + 1/c^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Wie muss ich die Grenzen richtig einsetzen? Bzw. wie ich mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ umzugehen habe (Ich weiß das ist dämlich und bestimmt zu genüge in Mathe1 behandelt worden, ich stehe da aber leider gerade auf dem Schlauch -.-')

Danke und Gruß

04.09.2015, 08:52

HAL 9000

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Sorgfältig betrachtet ist das ganze ein uneigentliches Integral, welches gemäß

$\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} xe^{cx} ~ \dd x := \lim_{T\to\infty} \int\limits_0^T xe^{cx} ~ \dd x \end{align*}$

definiert ist, sofern der Grenzwert rechts existiert. Mit der von dir ja bereits gebildeten Stammfunktion $\begin{align*} F(x)=\frac{cx-1}{c^2} e^{cx} \end{align*}$ geschrieben bedeutet dies

$\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} xe^{cx} ~ \dd x := \lim_{T\to\infty} F(T)-F(0) \end{align*}$ .

Insofern versteht man unter dem eigentlich falschen "Einsetzen von $\begin{align*} \infty \end{align*}$ " die entsprechende Grenzwertbildung.

04.09.2015, 15:13

Fruchtbaum

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Aber so bekomme ich doch "nur" einen unbestimmten Ausruck zustande, der mich C nicht eindeutig bestimmen lässt. (Laut Lösung C = -1) verwirrt

04.09.2015, 17:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fruchtbaum
Aber so bekomme ich doch "nur" einen unbestimmten Ausruck zustande

Unfug!

1) Ermittle alle c, für die der Grenzwert existiert, und

2) unter denjenigen Werten von 1) den Wert, für den dann

$\begin{align*} \lim_{T\to\infty} F(T)-F(0) = 1 \end{align*}$

gilt.

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