Potenzreihe stetig?

03.09.2015, 21:11

StrunzMagi

Potenzreihe stetig?

Meine Frage:
In meinem Skript steht:
Es sei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty c_k (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe und $\begin{eqnarray*} x_1 \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ habe die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty c_k (x_1-x_0)^k \end{eqnarray*}$ konvergent ist.
Wir erhalten durch $\begin{eqnarray*} f(x):= \sum_{k=0}^\infty c_k (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \{x \in \mathbb{C}:|x-x_0|< |x_1-x_0|\} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die stetig ist.

Nun wollte ich das beweisen!

Meine Ideen:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig aber fix gewählt.
Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \{x \in \mathbb{C}:|x-x_0|< |x_1-x_0|\} \end{eqnarray*}$ beliebig.
Für alle $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \in \{x \in \mathbb{C}:|x-x_0|< |x_1-x_0|\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \end{eqnarray*}$
gilt:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| = |\sum c_k (x-x_0)^k - \sum c_k (y-x_0)^k| \end{eqnarray*}$
Nach Vorlesung konv die Reihe absolut deshalb kann ich gliedweise differenzieren:
$\begin{eqnarray*} = |\sum_{k=0}^\infty c_k [(x-x_0)^k -(y-x_0)^k]| \le \sum_{k=0}^\infty |c_k| |[(x-x_0)^k -(y-x_0)^k]| \end{eqnarray*}$
Wie soll ich denn am besten weitermachen und delta wählen?

LG,
MaGi

03.09.2015, 21:20

bijektion

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$\begin{eqnarray*} f: \{x \in \mathbb{C}:|x-x_0|< |x_1-x_0|\} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist aber eine komische Schreibweise, kennt ihr noch nicht den Begriff des Konvergenzradius?

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \{x \in \mathbb{C}:|x-x_0|< |x_1-x_0|\} \end{eqnarray*}$ beliebig.

Vielleicht einfacher: $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ erfülle $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<|x_1-x_0| \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du o.B.d.A. annehmen, dass $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ , somit erhält du einen einfacheren Ausdruck.

04.09.2015, 10:21

StrunzMagi

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Hallo,
Danke für deine Antwort!
Der Konvergenzradius wurde erst später eingeführt. Das ist eine Bemerkung ganz am Anfang des Kapitels über Potenzreihen.
Ich hab noch ein paar Schwierigkeiten:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig aber fix
Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|< |x_1-x_0|\} \end{eqnarray*}$ beliebig.
Für alle $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |y-x_0|< |x_1-x_0|\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \end{eqnarray*}$

1)o.B.d.A $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$
Wir zeigen unten dann: $\begin{eqnarray*} \forall y: |x-y|< \delta \Rightarrow |f(x+x_0)-f(y+x_0)|< \epsilon \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} |x+x_0 - (y+x_0)|=|x-y| \end{eqnarray*}$ folgt daraus: $\begin{eqnarray*} \forall y : |x-y| <\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

2)
Wir wählen ein $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<r< |x_1-x_0| \wedge |x-x_0|< r \wedge |y-x_0|< r \end{eqnarray*}$
Da in dem Kreis $\begin{eqnarray*} K(x_0,r) \end{eqnarray*}$ die Konvergenz absolut ist: $\begin{eqnarray*} \exists m: \sum_{k=m}^\infty |c_k r^k| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Und: $\begin{eqnarray*} |x^k - y^k|=|(x-y)|*|(x^{k-1} + yx^{k-2}+y^2x^{k-3}+..+y^{k-1})| \le |\delta| * k*|x_1|^{k-1} \end{eqnarray*}$

Insgesamt: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| = |\sum c_k (x)^k - \sum c_k (y)^k| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \le |\sum_{k=0}^m c_k x^k - \sum_{k=0}^m c_k y^k | +\sum_{k=m+1}^\infty |c_k| |x|^k + \sum_{k=m+1}^\infty |c_k| |y|^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \le|\sum_{k=0}^m c_k x^k - \sum_{k=0}^m c_k y^k | +\sum_{k=m+1}^\infty |c_k| |r|^k + \sum_{k=m+1}^\infty |c_k| |r|^k \le |\sum_{k=0}^m c_k x^k - \sum_{k=0}^m c_k y^k | + 2\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \le \sum_{k=0}^m |c_k| * |(x^k - y^k)| + 2 \epsilon \le \sum_{k=0}^m |c_k| * |(x-y)|*|(x^{k-1} + yx^{k-2}+y^2x^{k-3}+..+y^{k-1})| + 2 \epsilon \le \sum_{k=0}^m \delta |{x_1}^{k-1}|*k + 2 \epsilon = 3 \epsilon \end{eqnarray*}$
mit wahl von $\begin{eqnarray*} \delta := \frac{\epsilon}{\sum_{k=0}^m |{x_1}^{k-1} | k} \end{eqnarray*}$

Gibt es so ein r überhaupt wie ich es definieren möchte in 2??
Ich wollte es vorher mit $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ machen aber da weiß ich ja nicht ob die Reihe auch ABSOLUT konvergiert.

LG,
MaGi

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