Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

04.09.2015, 16:16

Mathelover

Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Hallo zusammen,

ich habe gerade ein Problem bei folgender Implikation.

$\begin{eqnarray*} X,Y,Z \end{eqnarray*}$ seien regelwertige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X \perp Y \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} X, Y \end{eqnarray*}$ sind stochastisch unabhängig.

Welche Implikationen sind gültig, welche nicht?

$\begin{eqnarray*} <br /> X \perp Y, X \perp Z \Leftrightarrow X \perp (Y,Z) \end{eqnarray*}$

Zunächst einmal von rechts nach links:

Ich nehme also an, dass gilt $\begin{eqnarray*} X \perp (Y,Z) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(X \cap (Y \cap Z) ) = \mathbb{P}(X) \cdot \mathbb{P}(Y \cap Z) \end{eqnarray*}$

Und soll zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} <br /> a) \mathbb{P}(X \cap Y) = \mathbb{P}(X) \cdot \mathbb{P}(Y) <br /> b) \mathbb{P}(X \cap Z) = \mathbb{P}(X) \cdot \mathbb{P}(Z) \end{eqnarray*}$

gilt.

Also beginnen wir bei $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(X \cap Y) = ... ?<br /> \end{eqnarray*}$

wie verwende ich denn jetzt die Voraussetzungen, ich sehe da nichts.

04.09.2015, 16:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
d.h. $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(X \cap (Y \cap Z) ) = \mathbb{P}(X) \cdot \mathbb{P}(Y \cap Z) \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen mit der von Ereignissen verwechselst? Diese Gleichung hier jedenfalls macht allenfalls für Ereignisse $\begin{align*} X,Y,Z \end{align*}$ Sinn, nicht aber für Zufallsgrößen. unglücklich

04.09.2015, 16:44

Mathelover

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Wie lautet dann die richtige Gleichung?

04.09.2015, 16:47

HAL 9000

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Du liest dich besser mal ein in das Thema "Unabhängigkeit von Zufallsgrößen", denn in einer Zeile ist das nicht erledigt.

EDIT: Na Ok, vielleicht doch in etwas mehr als einer Zeile:

Es gilt $\begin{eqnarray*} X \perp (Y,Z) \end{eqnarray*}$ , falls für beliebige Borelmengen $\begin{align*} A\in \mathcal{B}^1, B\in \mathcal{B}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} P(X\in A, (Y,Z)\in B) = P(X\in A) \cdot P((Y,Z)\in B) \end{align*}$

gilt.

04.09.2015, 16:50

Mathelover

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Alles klar, danke für den Hinweis, ich melde mich später wieder.

04.09.2015, 16:52

HAL 9000

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Hab noch was ergänzt. Augenzwinkern

04.09.2015, 17:50

Mathelover

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Also jetzt einmal formal richtig:

$\begin{align*} P(X\in A, (Y,Z)\in B) = P(X\in A) \cdot P((Y,Z)\in B) \end{align*}$

Das darf ich annehmen.

Und jetzt möchte ich zeigen, dass:

a) $\begin{align*} P(X\in A, Y\in B) = P(X\in A) \cdot P(Y\in B) \end{align*}$
b) $\begin{align*} P(X\in A, Z\in B) = P(X\in A) \cdot P(Z\in B) \end{align*}$

$\begin{align*} P(X\in A, Y\in B) =... \end{align*}$

ich verstehe aber an dieser Stelle nicht, wie ich meine Annahme verwenden kann.

04.09.2015, 18:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
Und jetzt möchte ich zeigen, dass:

a) $\begin{align*} P(X\in A, Y\in B) = P(X\in A) \cdot P(Y\in B) \end{align*}$
b) $\begin{align*} P(X\in A, Z\in B) = P(X\in A) \cdot P(Z\in B) \end{align*}$

Zunächst mal ist anzumerken, dass hier nun $\begin{align*} B \end{align*}$ eindimensional ist, d.h., $\begin{align*} B\in\mathcal{B}^1 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Mathelover
$\begin{align*} P(X\in A, Y\in B) =... \end{align*}$

ich verstehe aber an dieser Stelle nicht, wie ich meine Annahme verwenden kann.

Wie wäre es mit

$\begin{align*} P(X\in A, Y\in B) = P(X\in A, Y\in B, Z\in\mathbb{R}) = P(X\in A, (Y,Z)\in B\times \mathbb{R}) = \ldots \end{align*}$ .

EDIT (7.9.)

Zitat:

Original von Mathelover
ich melde mich später wieder.

Allem Anschein nach SEHR viel später.

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