Verschoben! Negative Wurzel aufteilen

04.09.2015, 19:41

p3l4h0

Negative Wurzel aufteilen

Edit (mY+): Rätsel ist unzutreffend und von Hilfeersuchen bitte absehen! Titel modifiziert.

Hey ich habe ein paar Rätsel gefunden, und habe bei dem letzten Probleme:

$\begin{eqnarray*} 1=\sqrt{(1)}=\sqrt{(-1)*(-1)}=\sqrt(-1)*\sqrt(-1)=(\sqrt(-1))^2=-1 \end{eqnarray*}$
Ich glaube der Schritt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-1)*(-1)}=\sqrt(-1)*\sqrt(-1) \end{eqnarray*}$
stimmt nicht.
Nur weiß ich leider nicht warum nicht.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(9)*(9)}=\sqrt(9)*\sqrt(9) \end{eqnarray*}$

geht ja auch.
Mit den Negativen muss es sich also anders Verhalten, es wäre schon wenn mir jemand die Regel die ich übersehen habe näher bringen könnte.

Die kann ich für euch als Spaß an Mathe:

$\begin{eqnarray*} 1+1=0\\ \frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}\\ \sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}} \rightarrow \frac{i}{1}=\frac{1}{i}\\ \frac{i^2}{1} \rightarrow -1=1 \rightarrow 1+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=2\\ x^2=x^2\\ x^2-x^2=x^2-x^2\\ x*(x-x)=(x+x)*(x-x)\\ x=x+x\\ x:=1 \rightarrow 1=1+1=2 \end{eqnarray*}$

04.09.2015, 20:26

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ gilt nur für positive Radikanten.

ebenso

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{ a})^2=a \end{eqnarray*}$ nur für positive Basen

siehe: Potenzgesetze

04.09.2015, 20:46

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Euler schreibt in seiner 'Vollstaendigen Anleitung zur Algebra" von 1770:

Da ferner $\begin{align*} \sqrt{a} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sqrt{b} \end{align*}$ multiplicirt, $\begin{align*} \sqrt{ab} \end{align*}$ giebt, so wird $\begin{align*} \sqrt{-2} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sqrt{-3} \end{align*}$ multiplicirt $\begin{align*} \sqrt{6} \end{align*}$ geben. Eben so wird $\begin{align*} \sqrt{-1} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sqrt{-4} \end{align*}$ multiplicirt $\begin{align*} \sqrt{4} \end{align*}$ , das ist 2 geben. Hieraus sieht man dass zwey ohnmoegliche Zahlen mit einander multiplicirt eine moegliche, oder wuerkliche Zahl hervorbringen.

Wann aber $\begin{align*} \sqrt{-3} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sqrt{+5} \end{align*}$ multiplicirt wird, so bekommt man $\begin{align*} \sqrt{-15} \end{align*}$ . Oder eine moegliche mit einer ohnmoeglichen Zahl multiplicirt, giebt allezeit etwas ohnmoegliches.

Usw. usf. smile

05.09.2015, 00:42

mYthos

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Rätsel sind das allesamt keine, denn die scheinbaren Widersprüche beruhen auf handfesten Irrtümern z. T. ähnlich dem in der ersten Frage versteckten.

Die unrichtigen Umformungen bei der imaginären Einheit bzw. Wurzeln aus negativen Zahlen sind immer wieder gerne gebrachte Argumente, die bereits (auch hier im Board) oftmals widerlegt worden sind.
Übrigens, nicht die Wurzel ist negativ, sondern der Radikand (!)

Und dass man z.B. nicht durch 0 bzw. Terme, welche Null sind, dividieren kann, sollte auch schon hinlänglich bekannt sein.

mY+

05.09.2015, 05:27

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So saudoof, wie Du das hier hinstellst, ist die Sache durchaus nicht.

Ich habe schon Euler zitiert, und unmittelbar auf das Zitierte werden Sachen wie $\begin{align*} \sqrt{-1/1} \end{align*}$ behandelt -- geht natuerlich auch in die Hose. Aber danach kommt ein Abschnitt, in dem Euler sagt, dass Quadratwurzeln (generell!) zweiwertig sind. Damit koennte man schon vieles aufloesen, aber Euler probiert es gar nicht erst.

Hinter all dem steckt der feste Glaube an ein Permanenzprinzip. Ein solches gilt natuerlich nicht direkt, aber z.B. Fragen, wann es denn trotzdem stimmt, sind legitim:

www<insert dot>apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/editors.pdf

Ganz profan: $\begin{align*} \sqrt{-1}=\pm i \end{align*}$ , $\begin{align*} \sqrt{1}=\pm 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{1} \end{align*}$ stimmt, wenn Du an jeder Stelle die richtige Wahl triffst.

05.09.2015, 11:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von rg
Aber danach kommt ein Abschnitt, in dem Euler sagt, dass Quadratwurzeln (generell!) zweiwertig sind.

Ich würde Euler nicht gerade als Referenz betrachten, was die heute übliche Auffassung des Quadratwurzelsymbols betrifft: Nämlich die einer Funktion $\begin{align*} \mathbb{C}\to \mathbb{C} \end{align*}$ , und so liefert $\begin{align*} z=\sqrt{a} \end{align*}$ eben NICHT beide Lösungen der Gleichung $\begin{align*} z^2=a \end{align*}$ , sondern nur eine, und zwar definitiongemäß den Hauptwert (d.h. mit Argument im Intervall $\begin{align*} \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{align*}$ ), die andere Lösung ist dann natürlich $\begin{align*} -\sqrt{a} \end{align*}$ .

Und als diese Funktion betrachtet gilt eben das Potenz- bzw. Wurzelgesetz $\begin{align*} \sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot \sqrt{b} \end{align*}$ NICHT in ganz $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ .

Als mehrwertige $\begin{align*} \mathbb{C}\to \wp(\mathbb{C}) \end{align*}$ betrachtet ist durchaus was dran an dieser Betrachtung - aber dann sollte man auch vorher DEUTLICH kenntlich machen, dass man diese unübliche Auffassung des Wurzelsymbols vertritt. In längeren Termen mit mehreren Wurzelsymbolen hat diese Auffassung jedenfalls ziemlich unübersichtliche Konsequenzen. Augenzwinkern

05.09.2015, 18:38

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"In der komplexen Analysis ist es ueblich, jede $\begin{align*} n \end{align*}$ -te Wurzel aus $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ mit $\begin{align*} \alpha^{1/n} \end{align*}$ oder $\begin{align*} \sqrt[n]{\alpha} \end{align*}$ zu bezeichnen. Dieses Symbol steht also fuer $\begin{align*} n \end{align*}$ verschiedene Zahlen, wenn $\begin{align*} \alpha\ne0 \end{align*}$ ist. Ist $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ reell und positiv, so kommt unter diesen Zahlen auch die reelle $\begin{align*} n \end{align*}$ -te Wurzel vor." (Walter, Analysis I, Springer)

Wenn man unter $\begin{align*} \sqrt{z} \end{align*}$ hingegen den Hauptwert verstehen will, dann ist die Gleichung $\begin{align*} \sqrt{wz}=\sqrt{w}\sqrt{z} \end{align*}$ z.B. sicher dann richtig, wenn $\begin{align*} w \end{align*}$ und $\begin{align*} z \end{align*}$ nichtnegativen Realteil haben.

Ansonsten kann ich die Gleichung $\begin{align*} \sqrt{wz}=\sqrt{w}\sqrt{z} \end{align*}$ immer so retten, dass ich mir an allen drei Stellen aus den zwei Moeglichkeiten einen passende aussuche.

09.09.2015, 08:39

p3l4h0

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Danke euch
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$ Wurde soweit ich weiß nie als vollkommen richtig definiert.
Es gilt aber $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$

Laut Wolfram alpha liegt das Problem auch bei dem aufteilen der Wurzel (mit den negativen Radikanden Augenzwinkern

), ab da ändert sich ja das Ergebnis auch von 1 zu -1

Nur kannte ich das Gesetz das man negative Wurzeln nicht aufteilen darf nicht. Bei Euler war meiner Erinnerung der Radikand nicht unbedingt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

(Es ging hier nicht um ein Rätsel in *Hausaufgaben* Form, sondern wircklich nur um das Verständnis der Mathematik. Den eigentlich sollte ich dieses Aufgaben locker lösen können Studium Mathe III
ich hatte nur Probleme mit dem ersten)

09.09.2015, 09:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von rg
In der komplexen Analysis ist es ueblich, jede $\begin{align*} n \end{align*}$ -te Wurzel aus $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ mit $\begin{align*} \alpha^{1/n} \end{align*}$ oder $\begin{align*} \sqrt[n]{\alpha} \end{align*}$ zu bezeichnen.

Vielleicht beim Herrn Walter, aber sonst ist das kaum üblich - jedenfalls immer dann nicht, wenn unter $\begin{align*} \sqrt[n]{\alpha} \end{align*}$ ein konkreter Wert (statt Wertemenge) gemeint ist, was i.d.R. der Fall ist, wenn man es nicht extra besonders betont.

Insofern stimme ich zu, dass man zwar alle Lösungen der Gleichung $\begin{align*} z^n=\alpha \end{align*}$ als n-te Wurzeln bezeichnet, aber mit der Symbolik $\begin{align*} \sqrt[n]{\alpha} \end{align*}$ nur eine meint, i.d.R. den Hauptwert. Beispielsweise begibt sich auch die Wikipedia gar nicht erst auf dieses symbolische Glatteis.

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