Bruchgleichung nach x auflösen

05.09.2015, 08:10

felixd

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Bruchgleichung nach x auflösen

Hallo,

komme gerae bei einer Aufgabe nicht so recht weiter und bitte um Hilfe.

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+x}{m+n} -1 = \frac{nx}{m^2-n^2} \end{eqnarray*}$

Ich weiss das man alle Nenner gleichnamig machen muss.
Im hinteren Bruch handelt es sich ja im Nenner um eine binomische Formel (m-n)*(m+n).
Das heißt man könnte doch dn ersten Bruch mit (m-n) erweitern und die -1 die alleine steht, mit (m-n)*(m+n) erweitern. Oder sehe ich das falsch?
Danke im voraus.

05.09.2015, 08:37

adiutor62

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RE: Bruchgleichung nach x auflösen
Das siehst du völlig richtig. Freude

Freude

Dann leg mal los. smile

smile

05.09.2015, 08:57

felixd

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$\begin{eqnarray*} \frac{3n+x(m-n)}{(m+n)(m-n)} - \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{nx}{m^2-n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+mx-nx}{(m-n)(m+n)} - \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{nx}{(m-n)(m+n)} \end{eqnarray*}$

ist das richtig bis jetzt?

05.09.2015, 09:08

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+x(m-n)}{(m+n)(m-n)} - \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{nx}{m^2-n^2} \end{eqnarray*}$

Beim ersten Term im Zähler fehlen Klammern.

05.09.2015, 09:38

felixd

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ok das heißt dann also:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3n+x)(m-n)}{(m+n)(m-n)} - \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{nx}{(m-n)(m+n)} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{(3mn-3n^2+mx-nx)}{(m+n)(m-n)} - \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{nx}{(m-n)(m+n)} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{(3mn-3n^2+mx-nx)}{(m+n)(m-n)} - \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{nx}{(m-n)(m+n)} \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt schon den Zähler des zweiten Bruches kürzen oder sollte ich * $\begin{eqnarray*} (m+n)(m-n) \end{eqnarray*}$ , sodass die gmeinsamen Nenner weg fallen?

05.09.2015, 09:51

Bjoern1982

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Warum steht da denn zweimal dieselbe Zeile ? verwirrt

verwirrt

Am Ende jeder Zeile kommt, wenn dann, ein Äquivalenzzeichen <=>, jedoch kein Gleichzeichen.

Du solltest die Gleichung (spätestens jetzt) mit dem Hauptnenner multiplizieren, damit du ihn los bist.
Natürlich nur unter der Bedingung m ungleich n bzw. m ungleich -n, da man die Gleichung sonst mit 0 multipizieren würde.

Danach dann die weiteren Klammern auflösen und nach x umstellen.

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05.09.2015, 10:03

felixd

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$\begin{eqnarray*} (3mn-3n^2+mx-nx) - (m^2 - n^2) = nx \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} 3mn-3n^2+mx-nx - m^2 + n^2 = nx \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} 3mn-2n^2+mx-nx - m^2 = nx \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} 3mn-2n^2 - m^2 = 2nx - mx \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} 3mn-2n^2 - m^2 = x(2n - m) \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} \frac{3mn - 2n^2}{2n - m} = x \end{eqnarray*}$

ist das richtig so?

05.09.2015, 10:12

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3mn - 2n^2}{2n - m} = x \end{eqnarray*}$

Im Zähler fehlt noch -m², ansonsten schön. Freude

Freude

Man kann das durchaus so stehen lassen, wenn damit eh nichts weiter passieren soll und auch nicht gefordert ist, so weit wie möglich zu vereinfachen.
Man könnte aber in der Tat noch weiter vereinfachen, indem man den Zählerterm faktorisiert.
Hinweis: Für m=2n wird sowohl der Zähler- als auch der Nennerterm zu Null.

05.09.2015, 11:14

felixd

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Laut Lehrbuch ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} x = m - n \end{eqnarray*}$

Wie genau lässt sich der Zählerterm vereinfachen?

Ich komm gerade nicht drauf

$\begin{eqnarray*} 3mn-2n^2 - m^2 \end{eqnarray*}$

05.09.2015, 11:22

Bjoern1982

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Wenn man überhaupt noch vereinfachen/kürzen kann, dann muss ja nun sowas gelten wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{3mn - 2n^2-m^2}{2n - m} = \frac{(2n-m) \cdot (...)}{2n-m} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, was denn nun in die Klammer kommt, damit wiederum der Zählerterm links rauskommt.
Das kann man sich hier eigentlich recht schnell denken, denn was muss denn wohl in die Klammer rein, damit -m² und -2n² überhaupt nur durch Multiplikation mit (2n-m) entstehen kann ?
Wenn du es denn nicht siehst, kannst du auch wieder die Zählernullstellen mittels pq-Formel oder Ähnlichem bestimmen, das dauert jedoch nur unnötig lange in diesem Fall.

05.09.2015, 11:31

felixd

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in die Klammer müsste dann $\begin{eqnarray*} (-n+m) \end{eqnarray*}$

Aber ich komme anschießend trotzdem nicht auf das Ergebnis

$\begin{eqnarray*} x= m-n \end{eqnarray*}$ oder habe ich was übersehen?? verwirrt

verwirrt

05.09.2015, 11:34

Bjoern1982

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Zitat:

in die Klammer müsste dann $\begin{eqnarray*} (-n+m) \end{eqnarray*}$

Würde ich auch so sehen. Freude

Freude

Damit steht da also nun

$\begin{eqnarray*} \frac{3mn - 2n^2-m^2}{2n - m} = \frac{(2n-m) \cdot (-n+m)}{2n-m} \end{eqnarray*}$

Was könnte man jetzt wohl noch tun ?

05.09.2015, 13:19

felixd

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Jetzt könnte man kürzen denke ich, aber das $\begin{eqnarray*} 3mn \end{eqnarray*}$ ganz am Anfang bleibt ja immer noch. Komme nicht ganz dahinter sry...

05.09.2015, 16:40

Bjoern1982

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Was ist denn (2n-m)(-n+m) ausmultipliziert ?

06.09.2015, 08:47

felixd

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Das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} -2n^2+3mn-m^2 \end{eqnarray*}$

06.09.2015, 09:17

adiutor62

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Stimmt.

Freude

06.09.2015, 09:29

sulo

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Das Ausmultiplizieren führt doch nicht weiter... unglücklich

unglücklich

Der Stand war doch folgender:

Zitat:

Original von Bjoern1982
Damit steht da also nun .... $\begin{eqnarray*} \frac{(2n-m) \cdot (-n+m)}{2n-m} \end{eqnarray*}$

Was könnte man jetzt wohl noch tun ?

Zitat:

Original von felixd
Jetzt könnte man kürzen denke ich ...

Ja.

Freude

Tu es einfach.

06.09.2015, 09:40

Bjoern1982

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Zitat:

Das Ausmultiplizieren führt doch nicht weiter...

Doch, denn das musste noch geklärt werden wegen:

Zitat:

Jetzt könnte man kürzen denke ich, aber das $\begin{eqnarray*} 3mn \end{eqnarray*}$ ganz am Anfang bleibt ja immer noch.

Denn jetzt sieht felixd hoffentlich, dass wir sogar 3mn in der Faktorisierung (2n-m)(-n+m) enthalten haben und wir somit bedenkenlos kürzen können.

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