Integral und Gammafunktion

05.09.2015, 11:33	mi-ma-mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral und Gammafunktion Meine Frage: Hallo, ich bin in einem Buch auf folgendes gestoßen: Gegeben ist: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dz} \log(\Gamma (z+1))-\log (z)= \int_{0}^{\infty} e^{-zt}(\frac{1}{1-e^t}+\frac{1}{t}) dt+c \end{eqnarray}$ für Re(z)>0 mit Konstante c. Behauptung: c=0 Beweis: Wir lassen z in der obigen Gleichung durch ganzzahlige Werte gegen $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ gehen. Aus $\begin{eqnarray} \frac{d}{dz} log(\Gamma(z))=-\gamma-\frac{1}{z}+ \sum_{1}^{\infty} (\frac{1}{v}-\frac{1}{z+v} ) \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{d \log\Gamma}{dz} (n+1)=-\gamma+\sum_{1}^{n}\frac{1}{v} \end{eqnarray}$ . Die linke Seite von der Anfangsgleichung strebt also wegen der Bedeutung von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ gegen 0 für $\begin{eqnarray} z=n\to +\infty \end{eqnarray}$ . Dann wird noch die andere Seite betrachtet.... Frage: Was genau beudeutet die Schreibweise nach "ergibt sich" : $\begin{eqnarray} \frac{d \log\Gamma}{dz} (n+1) \end{eqnarray}$ ? Und wie komme ich auf diese Gleichung? P.S. $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ist herbei die Euler-Mascheroni-Konstante: $\begin{eqnarray} \gamma:= \lim_{n \to \infty} (\sum_{v=1}^{n} \frac{1}{v}-ln(n)) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider führen meine Überlegungen nicht zum Ergebnis.. Ich freue mich also über jede Hilfe!
07.09.2015, 11:08	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral und Gammafunktion $\begin{eqnarray} F(x):=\log\Gamma(x) \end{eqnarray}$ ist differenzierbar und es gilt: $\begin{eqnarray} F'(x)=\frac{\dd}{\dd x} \log \Gamma (x) = \frac{\Gamma '(x)}{\Gamma(x)} = - \gamma - \frac 1x + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac 1k-\frac 1{x+k}\right). \end{eqnarray}$ Beachtet man nun, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty\left(\frac 1k-\frac 1{(n+1)+k}\right)-\sum_{k=1}^{n+1}\frac 1k =0 \end{eqnarray}$ dann folgt $\begin{eqnarray} F'(n+1)=-\gamma -\frac 1{n+1}+\sum_{k=1}^\infty \left( \frac 1k-\frac 1{(n+1)+k}\right)=-\gamma+\sum_{k=1}^n\frac 1k. \end{eqnarray}$
18.10.2015, 18:37	mi-ma-mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral und Gammafunktion Leider, habe ich erst jetzt Zeit gefunden, mich weiter mit dem Problem zu beschäftigen.. Vielen Dank für die Antwort, Matt Eagle! Leider verstehe ich nicht warum Folgendes gilt. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{(n+1)+k)}\right)- \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}=0 \end{eqnarray}$
19.10.2015, 19:43	mi-ma-mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral und Gammafunktion Hat sich geklärt Vielen Dank!

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