Grenzwert n-te Wurzel

05.09.2015, 16:55

flappix

Grenzwert n-te Wurzel

Meine Frage:
Hi @ all,
ich soll den Grenzwert folgenden Ausdrucks berechnen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{3^{n} }{n^{2} }} \end{eqnarray*}$

Das einzige, was im Skript zu Grenzwert und Wurzeln steht, ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{|a_{n} | } = |a_{n}| \end{eqnarray*}$
Das hilft mir leider gar nicht, da es sich weder um die Quadratwurzel handelt, noch ich den Grenzwert innerhalb der Wurzel weiß.

Meine Ideen:
Sorry, leider hab ich absolut gar keinen Plan oder Ansatz dafür. Ich weiß zwar das Ergebnis (3), aber ich brauche den Rechenweg.

Wäre toll, wenn mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte.

Edit: LaTeX-Tags eingefügt. LG Iorek

05.09.2015, 17:04

Captain Kirk

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{3^{n} }{n^{2} }} \end{eqnarray*}$
Ich würde zu erst mal die 3 aus der Wurzel ziehen.
Ist dir der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty }n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ bekannt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{|a_{n} | } = |a_{n}| \end{eqnarray*}$
Das ist schlicht falsch.

05.09.2015, 17:19

flappix

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Hi, vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.
Wäre das ein korrekter & schlüssiger Rechenweg?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{3^{n} }{n^{2}} } = \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{3^{n}} }{\sqrt[n]{n * n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{3}{\sqrt[n]{n} * \sqrt[n]{n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{3}{1} = 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ist dir der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty }n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ bekannt?

Steht zwar nicht im Skript, aber glaube schon, dass wir das benutzen dürfen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{|a_{n} | } = |a_{n}| \end{eqnarray*}$
Das ist schlicht falsch.

Sorry, sollte auch heißen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{|a_{n} | } = |a| \end{eqnarray*}$
Wobei gilt $\begin{eqnarray*} a = \lim_{n \to \infty } a_{n} \end{eqnarray*}$

05.09.2015, 17:31

Captain Kirk

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Ja die Rechnung ist so richtig.

05.09.2015, 18:03

Iorek

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Zitat:

Original von flappix
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{3^{n} }{n^{2}} } = \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{3^{n}} }{\sqrt[n]{n * n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{3}{\sqrt[n]{n} * \sqrt[n]{n} } = \color{red}\lim_{n \to \infty }\color{black} \frac{3}{1} = 3 \end{eqnarray*}$

Eine Kleinigkeit: du hast ja schon den Grenzwert bestimmt, also muss das rot markierte $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ da nicht mehr stehen. smile

05.09.2015, 18:50

flappix

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Kk, dann vielen Dank euch beiden.
War ja gar nicht so schwer, aber solche komplizierten Ausdrücke schüchtern mich immer ein geschockt

Zumal der Lösungansatz, den WolframAlpha vorgeschlagen hat, sehr kompliziert aussah.

05.09.2015, 18:54

10001000Nick1

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Zitat:

Original von flappix

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{|a_{n} | } = |a_{n}| \end{eqnarray*}$
Das ist schlicht falsch.

Sorry, sollte auch heißen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{|a_{n} | } = |a| \end{eqnarray*}$
Wobei gilt $\begin{eqnarray*} a = \lim_{n \to \infty } a_{n} \end{eqnarray*}$

Und warum sollte das gelten?

05.09.2015, 20:10

flappix

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Das ist im Skript einfach so definiert.
Soll heißen, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist per Definiton der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ .

05.09.2015, 20:19

10001000Nick1

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Schon klar. Ich meinte: Warum soll $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{|a_{n} | } = |a| \end{eqnarray*}$ gelten?
Du meintest wohl eher $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{|a_{n} | } = \sqrt{|a|} \end{eqnarray*}$ . smile

05.09.2015, 20:23

flappix

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Klar, hast Recht. Abschreiben war noch nie meine Stärke Lesen2

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