Nichttriviale Lösungen einer Gleichung als Restklasse

06.09.2015, 14:01

Olf

Nichttriviale Lösungen einer Gleichung als Restklasse

Im Zuge der Klausurvorbereitungen bin ich auf die Aufgabe gestoßen und habe bisher noch keine Ahnung, wie ich an diese herangehen soll:

Für welche p hat
$\begin{eqnarray*} x^2=363 y^2 \end{eqnarray*}$
nicht triviale Lösung $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb{Z}_p x \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ . (p auffassen bzw. p darstellen als Restklassenelemente reicht aus)

Würde der Ansatz für Hilbert-Symbole helfen, die mir ja Angaben über die Lösbarkeit von der Gleichung
$\begin{eqnarray*} ax^2+by^2=z^2 \end{eqnarray*}$
geben, und diese eine nicht triv Lösung hat, wenn
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{a,b}{p}\right)=1 \end{eqnarray*}$
Und ich hier einfach für b=0 setze?

06.09.2015, 14:12

Captain Kirk

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Hallo,

Legendre/Jacobi-Symbol bekannt?

Zitat:

(p auffassen bzw. p darstellen als Restklassenelemente reicht aus)

Den Zusatz versteh ich nicht. Wie soll p als als Elemente(!) dargestellt werden?

06.09.2015, 14:57

Captain Kirk

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Nachdem ich den Edit erst jetzt sehe:
Das Hilbert-Symbol ist für b=0 nicht definiert.

06.09.2015, 14:59

Olf

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und ja jac und leg symbole sind bekannt

06.09.2015, 15:06

Captain Kirk

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Hast du damit dann irgendwelche Ideen?

Zitat:

(p auffassen bzw. p darstellen als Restklassenelemente reicht aus)

Was soll das also aussagen?
Bzw. was meint $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ hier?

06.09.2015, 15:33

Olf

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nicht wirklich, da diese mir ja nur aussagen geben, ob a nen quadratischer rest von n mod p ist.

woher hast du, dass für das Hilbert symbol b=0 nicht erlaubt ist? Bei uns im Skript wurde $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Q}_p^x \end{eqnarray*}$ angegeben

das $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ sagt mir doch nur, dass x und y aus Z sein sollen

06.09.2015, 15:44

Captain Kirk

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Zitat:

woher hast du, dass für das Hilbert symbol b=0 nicht erlaubt ist? Bei uns im Skript wurde $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Q}_p^x \end{eqnarray*}$ angegeben

Genau daher.

Zitat:

das $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ sagt mir doch nur, dass x und y aus Z sein sollen

Nein, das tut es nicht.
Nach deinem obigem Kommentar ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ der Ring der ganzen p-adischen Zahlen. Und der enthält deutlich mehr als nur die ganzen Zahlen.
Eine andere Interpretation von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ wäre als (irreführende aber leider gebräuchliche) Schreibweise für den Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Auch dann wären x,y nicht aus den ganzen Zahlen.
(Daher hab ich auch nachgefragt, da mir nicht klar war was beiden gemeint ist.)

Für den Beweis in p-adischen Zahlen ist der erste Schritt die Aussage in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p=\mathbb Z/ p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zu beweisen.
mach dafür eine Fallunterscheidung: x=0 und $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Im zweiten Fall kommt das legendresymbol zum Einsatz.

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