Bestimmtes Integral ausrechnen

06.09.2015, 17:43

Seppelkoi

Bestimmtes Integral ausrechnen

Hallo,

Habe das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{3} \! \frac{x^5+1}{x^6-x^4} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen bisher:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{3} \! \frac{x^5+1}{x^6-x^4} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_{2}^{3} \! \frac{x^4(x+\frac{1}{x^4}) }{x^4(x^2-1)} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_{2}^{3} \! \frac{x+\frac{1}{x^4} }{(x+1)(x-1)} \, dx \end{eqnarray*}$

Und weiter weiß ich leider nicht... Wahrscheinlich übersehe ich mal wieder was ganz einfaches, hab aber keine Ahnung, wie ich das so umgeschrieben bekomme, dass ich es integrieren kann.

06.09.2015, 17:45

bijektion

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Versuch es doch mal mit einer Partialbruchzerlegung.

06.09.2015, 17:57

Seppelkoi

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Hab das bisher noch nicht gemacht, also mal nach Anleitung versucht und da hab ich ein Problem:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{a(x-1)}{x^2-1} + \frac{b(x+1)}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{x(a+b)+(-a+b)}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

So... Ich hab dann gesetzt für $\begin{eqnarray*} a+b=1 \end{eqnarray*}$ , aber was setze ich für $\begin{eqnarray*} -a+b \end{eqnarray*}$ ? Ich hab keinen Plan. verwirrt

06.09.2015, 18:18

HAL 9000

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Ähmm... was machst du da? Integration basierend auf Partialbruchzerlegung (PBZ) funktioniert nur, wenn auch im Zähler ein Polynom steht. Dein $\begin{align*} x+\frac{1}{x^4} \end{align*}$ ist aber KEIN Polynom. unglücklich

Also wenn schon, dann mach die PBZ mit vollständigem Ansatz:

$\begin{align*} \frac{x^5+1}{x^6-x^4} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x} + \frac{d}{x^2} + \frac{e}{x^3} + \frac{f}{x^4} \end{align*}$ .

06.09.2015, 19:40

URL

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Zuvor noch den Faktor x+1 kürzen.

06.09.2015, 19:43

Seppelkoi

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Zitat:

Original von URL
Zuvor noch den Faktor x+1 kürzen.

Bei welcher Rechnung jetzt? Bei meiner oder dem Ansatz von HAL?