Explizite Folge aus rekursiver bestimmen

06.09.2015, 17:10

last resort

Explizite Folge aus rekursiver bestimmen

Meine Frage:
Ich sitze gerade an einer rekursiven Folge, für die ich eine explizite angeben muss, die Aufgabenstellung ist folgende:

$\begin{eqnarray*} c \neq 1; x_{0} = 1 x_{n+1} = c * x_{n} -1,5 n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Erstmal habe ich natürlich die ersten Folgenglieder ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} x_{0} = 1 x_{1} = c * 1 - 1,5 = c - 1,5 x_{2} = c * (c-1,5) -1,5 = c² - 1,5 c - 1,5 x_{3} = c * (c² - 1,5c - 1,5) - 1,5 = c³ - 1,5 c² - 1,5 c - 1,5 \end{eqnarray*}$

Da sich schon jetzt klar erkennen lässt, wie sich die Glieder entwickeln sollten die ersten drei eigentlich reichen. Ich komme aber einfach nicht auf die explizite Darstellung. Das vorne ein $\begin{eqnarray*} c^{n} \end{eqnarray*}$ stehen muss bin ich mir sehr sicher. Ich weiß allerdings nicht wie ich erreichen soll, dass jedes mal wieder -1,5 dazu kommt und alles andere mit c multipliziert wird, weil sobald multipliziere würden ja sämtliche c zusammen geschrieben werden. Dabei bin ich mir recht sicher, dass die Lösung Klammern beinhaltet deren Inhalt miteinander multipliziert wird.

Ich kenne auch den Ansatz, dass man z.B. $\begin{eqnarray*} x_{n} = 2^{n} * b + c \end{eqnarray*}$ nimmt, die ersten beiden Folgeglieder dafür ausrechnet und jeweils mit den vorher berechneten gleichsetzt und auflöst. Allerdings komme ich damit hier auch nicht weiter. Da man hier nicht erst die Glieder voneinander abziehen kann und so eine Unbekannte los wird. Wenn ich es hier Versuche komme ich nur auf b = 1 und wenn ich das dann in $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ einsetze bleibe ich bei -1,5 c = 0 hängen. Vermutlich ist es also gar nicht möglich diesen Lösungweg für meine Problemstellung zu nutzen?

Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich sitze jetzt schon ewig an der Aufgabe und mir fällt nichts mehr dazu ein.

06.09.2015, 18:06

thk

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Hallo,

du könntest zunächst umschreiben $\begin{align*} x_3=c^3-1,5(c^2+c+1) \end{align*}$
Der Klammerausdruck lässt sich mit Summenzeichen darstellen oder du verwendest dafür den Bruch
$\begin{align*} \frac{c^3-1}{c-1} \end{align*}$
Das kannst du nun auf x^n verallgemeinern.

LG

06.09.2015, 19:32

last resort

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So etwas wie ein Summenzeichen ist also in expliziten Folgen erlaubt, da ich das nicht wusste hätte ich ja noch ewig überlegen können.

Also wäre die Lösung dann $\begin{eqnarray*} c^{n} -1,5 * \sum\limits_{k=1}^{n} c^{n-k} \end{eqnarray*}$ ?

07.09.2015, 08:51

HAL 9000

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$\begin{align*} x_{n+1} = cx_n - 1.5 \end{align*}$ ist die Iterationsgleichung einer "verschobenen" geometrischen Folge.

Der Verschiebewert $\begin{align*} d \end{align*}$ ist nun gerade der Fixpunkt dieser Gleichung, d.h., $\begin{align*} d = cd-1.5 \end{align*}$ oder umgestellt $\begin{align*} d = \frac{1.5}{c-1} \end{align*}$ . Dies eingesetzt ergibt sich $\begin{align*} x_{n+1}-d = c(x_n-d) \end{align*}$ und damit $\begin{align*} x_n-d = c^n(x_0-d) \end{align*}$ bzw. wieder umgestellt $\begin{align*} x_n = \frac{1.5}{c-1} + c^n\left( x_0 - \frac{1.5}{c-1} \right) \end{align*}$ .

07.09.2015, 10:44

mYthos

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Zitat:

Original von last resort
So etwas wie ein Summenzeichen ist also in expliziten Folgen erlaubt,
...

Eben nicht.
Die Summe muss auch ausgerechnet werden.
Alternativer Lösungsweg (der auch bei komplexeren Rekursionen funktioniert):
Die Methodik ist auch zu sehen in

http://www.sara-adams.de/files/german/rekursion.pdf

Für das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = cx_n - 1,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n+2} = cx_{n+1} - 1,5 \end{eqnarray*}$
------------------------------------
Mittels Subtraktion wird eine homogene Rekursion erzeugt:

$\begin{eqnarray*} x_{n+2} - (c+1)x_{n+1} + cx_n = 0 \end{eqnarray*}$

Charakteristische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - (c+1) \lambda + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = c; \ \lambda_2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n = c_1 c^n + c_2 \end{eqnarray*}$

Mittels $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 = c - 1,5 \end{eqnarray*}$ werden die Konstanten c1, c2 berechnet, damit

$\begin{eqnarray*} x_n = \frac 1 {c-1} \cdot \left((c-2,5) c^n + 1,5\right) \end{eqnarray*}$

Dieses Resultat korresponiert auch mit $\begin{eqnarray*} x^n = c^n - \text {Summe der geom. R.} = c^n - 1,5 \cdot \frac {c^n-1}{c-1} \end{eqnarray*}$

mY+

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