Induktion, Königsberger Aufgabe 1.3

07.09.2015, 02:56

Citro

Induktion, Königsberger Aufgabe 1.3

Hallo zusammen

Mir liegt folgende Aufgabe vor und ich sehe die Lösung nicht. Wie ich das Ding auch auseinander nehme, ich komm nicht drauf.

(1+x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^2^n) = (1 - x^(2^(n+1)))/(1-x)

Nach den üblichen Induktions Schritten folgt:

(1 - x^(2^(n+1)))/(1-x) * (1+x^2^(n+1)) = (1 - ( 1+x^(4n + 4)))/(1-x)

Tja nun kann ich hier aber nicht auf das geforderte

(1 - ( 1+x^2(n + 2)))/(1-x)

schliessen. Wo mache ich etwas falsch?

Sry wegen den Formeln, bin aufm Smartphone und krieg hier den Editor nich auf.

Gruss Citro

07.09.2015, 08:24

Matt Eagle

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion, Königsberger Aufgabe 1.3
multipliziere die Gleichung mit (1-x) und denke auf der linken Seite an die 3. bin. Formel.

07.09.2015, 09:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion, Königsberger Aufgabe 1.3

Zitat:

Original von Citro
Nach den üblichen Induktions Schritten folgt:

(1 - x^(2^(n+1)))/(1-x) * (1+x^2^(n+1)) = (1 - ( 1+x^(4n + 4)))/(1-x)

Tja nun kann ich hier aber nicht auf das geforderte

(1 - ( 1+x^2(n + 2)))/(1-x)

schliessen. Wo mache ich etwas falsch?

Die Frage ist, was du in der oberen Zeile gerechnet hast. Setze beispielsweise in der linken Seite für x die Null ein. Du bekommst dann eine 1 heraus. Auf der rechten Seite aber eine Null. smile

07.09.2015, 10:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Hintergrund ist die dritte binomische Formel. Immer das vorige Ergebnis wieder verwendend erhält man:

$\begin{align*} 1 - x^2 = \left( 1 + x \right) \left( 1 - x \right) \end{align*}$

$\begin{align*} 1 - x^4 = \left( 1 + x^2 \right) \left( 1 - x^2 \right) = \left( 1 + x^2 \right) \left( 1 + x \right) \left( 1 - x \right) \end{align*}$

$\begin{align*} 1 - x^8 = \left( 1 + x^4 \right) \left( 1 - x^4 \right) = \left( 1 + x^4 \right) \left( 1 + x^2 \right) \left( 1 + x \right) \left( 1 - x \right) \end{align*}$

$\begin{align*} 1 - x^{16} = \left( 1 + x^8 \right) \left( 1 - x^8 \right) = \left( 1 + x^8 \right) \left( 1 + x^4 \right) \left( 1 + x^2 \right) \left( 1 + x \right) \left( 1 - x \right) \end{align*}$

Und so geht das weiter.

07.09.2015, 14:18

Zitronentee

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe nochmals sehr ausführlich
Okey ich schreibe nun die Aufgab, wie ich sie Schritt für Schritt gelöst habe nochmals hin. Natürlich steckt da die 3.te binomische Formel dahinter, das fällt einem gleich auf, da (1+x) mit (1+x^(2n)) nicht gebildet werden kann und dann noch das passende (1-x) verdächtig im Nenner steht.

Gut: (Für alle x ungleich 1)
1. Man überprüfe die Induktionsannahme mit n=1.

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^{2^{n}}) =\frac{1 - x^{2^{n+1}}}{1-x} \end{eqnarray*}$

oder anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1-x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^{2^{n}}) =1 - x^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

dann folgt:

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1-x)(1+x^2) = 1-x^4 = 1-x^4 \end{eqnarray*}$

2. Man wage den Schritt von n nach n+1

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1-x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^{2^{n}})(1 + x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

Mit der Induktionsannahme folgt:

$\begin{eqnarray*} (1 - x^{2^{n+1}})(1 + x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(1 - x^{4^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

So, hier angekommen kann ich es nicht mehr weiter so umformen, dass da folgendes rauskommt.

$\begin{eqnarray*} =(1 - x^{2^{n+2}}) \end{eqnarray*}$

Ich glaube diese Aufgabe ist falsch, alleine schon wenn man das Konstrukt für n=3 mal aufschreibt, macht eine so kompakte Lösung keinen Sinn mehr.

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1-x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^6)\neq 1-x^8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(1-x^8)(1+x^6)\neq 1-x^8 \end{eqnarray*}$

Schon bei n=3, bleiben da Terme erhalten, die sich nicht einfach durch die 3.te binomische Formel "wegzaubern", daher geht diese Induktionsannahme den Bach runter.

Oder ist der Beweis dieser Aufgabe jener, dass man beweist, dass dies nicht stimmt? Wenn ja, dann hat sich das Ding erledigt -.-

07.09.2015, 14:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe nochmals sehr ausführlich

Zitat:

Original von Zitronentee
Mit der Induktionsannahme folgt:

$\begin{eqnarray*} (1 - x^{2^{n+1}})(1 + x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(1 - x^{4^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

Hier hast du anscheinend Probleme mit der korrekten Einhaltung der Potenzregeln. Was ist $\begin{eqnarray*} x^{2^{n+1}} \cdot x^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Zitronentee
Ich glaube diese Aufgabe ist falsch, alleine schon wenn man das Konstrukt für n=3 mal aufschreibt, macht eine so kompakte Lösung keinen Sinn mehr.

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1-x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^6)\neq 1-x^8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(1-x^8)(1+x^6)\neq 1-x^8 \end{eqnarray*}$

Für n=3 entsteht kein Faktor $\begin{eqnarray*} (1+x^6) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (1+x^8) \end{eqnarray*}$ .

An die Mathematik mußt du schon mit etwas mehr Sorgfalt rangehen. Augenzwinkern

07.09.2015, 14:47

Citro

Auf diesen Beitrag antworten »

Hrm es gilt doch:

$\begin{eqnarray*} (x^a)^b = x^{(a*b)} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x^a *x^b = x^{(a+b)} \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} (1-x^{2n + 2})(1+x^{2n+2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1- x^{2n+2+2n+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 - x^{4n+4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 - x^{4^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Oder verstehe ich da die schreibweise falsch, etwa das nicht (x^a)^b vorliegt sondern effektiv x^(a^b) gemeint ist?

07.09.2015, 14:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind uns einig, daß im Allgemeinen $\begin{eqnarray*} 4n+4 \neq 4^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist?

EDIT: Ja, mit $\begin{eqnarray*} x^{a^b} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^{(a^b)} \end{eqnarray*}$ gemeint. Jetzt wird mir klar, wo deine falsche Rechnung herkommt.

07.09.2015, 15:07

Citro

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, ich habe die schreibweise nicht verstanden. (Müsste man das nicht explizit klammern, also wenn der Fall x^(a^b) gemeint war, war das beim Gymnasium immer extra geklammert.)

somit ist:

$\begin{eqnarray*} (1-x^{2^{n+1}})(1+x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1-x^{2^{n+1}}*x^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-(x^2)^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

und somit gemäss (x^a)^b = x^(a*b)

$\begin{eqnarray*} 1-x^{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$

Danke für die Hilfe =D

07.09.2015, 15:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Citro
Müsste man das nicht explizit klammern, also wenn der Fall x^(a^b) gemeint war, war das beim Gymnasium immer extra geklammert.

Mehr Klammern schaffen natürlich Klarheit, aber meines Wissens sind für den Fall x^(a^b) keine Klammern erforderlich.

Neue Frage »

Antworten »

Induktion, Königsberger Aufgabe 1.3

Verwandte Themen