Selbe offenen Mengen, |arctan(x)-arctan(y)|

07.09.2015, 06:56

StrunzMagi

Selbe offenen Mengen, |arctan(x)-arctan(y)|

Sei $\begin{eqnarray*} d_2: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} d_2(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)| \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie
a) $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ definiert eine Metrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
b) Sei $\begin{eqnarray*} O \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Dann ist O genau dann offen in $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}, d_2) \end{eqnarray*}$ wenn O offen in $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}, d_1) \end{eqnarray*}$ der üblichen Metrik ist.

Hallo
a) Beweis analog zu $\begin{eqnarray*} |x-y| \end{eqnarray*}$ ist eine Metrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
b) Ich hätte zwar eine Lösung aber die stimmt gar nicht mit mit dem Lösungbuch. Ich frage mich ob ich mir vorallem die zweite Richtung zu einfach gemacht habe!!

Sei O offen bezüglich $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} \forall x \in O \exists \overline{\epsilon}>0: B_{\overline{\epsilon}}^{d_2} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$
ZZ.: O offen bezüglich $\begin{eqnarray*} d_1(x,y):=|x-y| \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} y \in B_{\epsilon}^d (x) \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} |arctan(x)-arctan(y)| = \frac{|x-y|}{1+\psi^2} < \frac{\epsilon}{1 +\psi^2} \end{eqnarray*}$ mittels Mittwelwertsatz $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ zwischen x und y
D.h. $\begin{eqnarray*} y \in B_{\frac{\epsilon}{1+\psi^2}} (x) \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}^d (x) \subseteq B_{\frac{\epsilon}{1+\psi^2}} (x) \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} B_\epsilon^d \subseteq O \Rightarrow O \end{eqnarray*}$ Offem bezüglich $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$

Sei O offen bezüglich $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$
ZZ.: O offen bezüglich $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \in B_{\epsilon}^{d_2} (x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x-y|= |arctan(x)-arctan(y)| * (1+ \psi^2) < \epsilon (1+ \psi^2) \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} y \in B_{\epsilon*(1+\psi^2)}^d (x) \Rightarrow B_{\epsilon}^{d_2} (x) \subseteq B_{\epsilon*(1+\psi^2)}^d (x) \end{eqnarray*}$
D.h. O offen bez $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$

Mach ich den Aufbau verkehrt? Wie gehört es richtig?
Im Lösungbuch wird bei der zweiten Richtung anders gezeigt ohne den Mittelwertsatz
Darf dass ganze nicht von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ abhängen? Ich hab das Gefühl mit meiner Rechnung ist etwas falsch.
Liebe Grüße,
MaGi

07.09.2015, 12:58

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

Darf dass ganze nicht von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ abhängen? Ich hab das Gefühl mit meiner Rechnung ist etwas falsch.

Richtig, genau das ist der Punkt. Bei der anderen Richtung ist das kein Problem, weil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\psi^2}\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Das funktioniert bei der Rückrichtung aber nicht.

Was allerdings gut in beiden Richtungen funktioniert, ist, dass sowohl der Tangens, als auch der Arkustangens lokal Lipschitzstetig sind. Du kannst ja mal versuchen, daraus einen Beweis zu bauen.

07.09.2015, 13:58

steviehawk

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Hallo StrunzMagi,

Guppi12 hat ja schon den Hinweis gegeben. Ich ergänze nur ganz kurz eine kleine aber feine Info wie ich finde, die den Sinn der Aufgabe klar macht.

Durch deine $\begin{eqnarray*} d_1, \ d_2 \end{eqnarray*}$ werden, wenn du die $\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ gelöst hast, offensichtlich die gleichen Topologien erzeugt. (Also das System der offenen Mengen). Was nun auffällt ist das $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, d_1) \end{eqnarray*}$ vollständig ist, aber $\begin{eqnarray*} ( \mathbb R, d_2) \end{eqnarray*}$ nicht. Denn hierin ist die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \geq 1} = n \end{eqnarray*}$ eine Cauchy - Folge die nicht konvergiert.

Du hast also im Grunde noch wesentlich mehr gezeigt. Nämlich, dass Vollständigkeit keine topologische Invariante ist.
Ich hoffe das verwirrt dich jetzt nicht, falls doch dann vergiss es einfach. Mich nervt es nur immer, wenn ich Aufgaben bearbeite und ich ihren tieferen Sinn nicht verstehe Big Laugh

Viele Grüße
Stevie

07.09.2015, 16:51

StrunzMagi

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Zitat:

Original von Guppi12
Hallo,

Zitat:

Darf dass ganze nicht von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ abhängen? Ich hab das Gefühl mit meiner Rechnung ist etwas falsch.

Halllo Gruppi,
Danke für deine Antwort. Ich hab das noch nicht ganz verstanden.

Warum darf dass ganze nicht von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ abhängen?
Sei O offen bezüglich $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} \forall x \in O \exists \epsilon>0: B_{\epsilon}^{d_2} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$
Um ZZ.: $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ offen bez. üblichen Metrik, muss ich ein $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ finden so dass $\begin{eqnarray*} B_{\delta}^{d_1} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$
Aber das delta darf doch vom x abhängen? Das Problem ist dass es in unserem Bsp auch von y abhängt oder?

Die erste Richtung ist mit deinen Hinweis klar.
Zur zweiten Richtung:
Sei O offen bezüglich $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$
ZZ.: O offen bezüglich $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} y \in B_{\epsilon}^{d_2} (x) \end{eqnarray*}$
Definiere s und t sodass: $\begin{eqnarray*} x= tan(s), y=tan(k) \end{eqnarray*}$
Nach der lokalen Lipschitzstetigkeit für $\begin{eqnarray*} - \pi/2 < s,t < \pi /2 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} |x-y|= |tan(s) - tan(k)| \le L |s-k|=L|arctan(x)-arctan(y)|=L d_2 (x,y) < L \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow y \in B_{L \epsilon}^{d_1} (x) \end{eqnarray*}$

Aber von der Konstante L darf es schon abhängen? Oder mache ich den selben Fehler nochmal?

07.09.2015, 17:25

Guppi12

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Zitat:

Das Problem ist dass es in unserem Bsp auch von y abhängt oder?

Ja und das Hauptproblem, warum du das vorher nicht gesehen hast, liegt denke ich darin, dass du es nicht sorgfältig genug aufschreibst. Wenn du keine Schritte auslässt, siehst du, wo es kaputt geht.

Wir haben folgendes: Gilt $\begin{eqnarray*} |x-y|<\epsilon \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} y\in O \end{eqnarray*}$ . Wir wollen die Existenz eines $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , so dass gilt: Falls $\begin{eqnarray*} |\arctan(x)-\arctan(y)|<\delta \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} y\in O \end{eqnarray*}$ . Also darf $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängen.

Dein zweiter Versuch scheitert leider an der selben Sache. Das geht allerdings auch auf mich zurück. Man braucht eigentlich nur die einfache Stetigkeit der Tangensfunktion, mit der lokalen Lipschitzbedingung hat das garnicht so viel zu tun, da habe ich nicht genug drüber nachgedacht, tut mir Leid!

Also: Wir haben für festes $\begin{eqnarray*} x,\epsilon \end{eqnarray*}$ und beliebiges $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} |x-y|<\epsilon \Rightarrow y\in O \end{eqnarray*}$ .
Nach der Stetigkeit des Tangens in $\begin{eqnarray*} \arctan(x) \end{eqnarray*}$ gibt es zu diesem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , so dass falls $\begin{eqnarray*} |\arctan(x)-z| < \delta \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} |\tan(\arctan(x))-\tan(z)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Verwende dies, um für beliebiges $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\arctan(x)-\arctan(y)|<\delta \end{eqnarray*}$ zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} y\in O \end{eqnarray*}$ .

07.09.2015, 18:46

StrunzMagi

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Ah, ich hab's endlich verstanden!
Vielen Dank an euch beide!

LG,
MaGi

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