Orthonormalbasis

07.09.2015, 15:06

Spekulatius94

Orthonormalbasis

Meine Frage:

Die Ortsvektoren der Eckpunkte A,B,C und D eines Tetraeders besitzen bezüglich einer Orthonormakbasis die Koordinatenvektoren a=(2 2 1) ^T
b=(3 4 1)^T c=(0 3 2)^T d=(1 3 4)^T

Kann mir jemand anhand dieses Beispieles erklären was eine Orthogonalbasis ist, wie ich Sie berechne ?

Meine Ideen:
Habe bereits Versucht die Vektoren vom Ursprung aus zu zeichnen aber die Vektoren sind nicht gleichlang, wodurch der Tetraeder unregelmäßig ist, was ja bei einer Orthonormalbasis nicht sein darf oder? Bräuchte umbedingt Hilfe!

07.09.2015, 15:34

steviehawk

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RE: Orthonormalbasis
Hallo Spekulatius94,

Ich beziehe mich mal mit meinen Ausführungen auf den reellen Vektorraum der Dimension 3. Also $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Was ist eine Basis?

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss. Hier sind das genau 2.
1) Die Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
2) Die Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig.

Also ist eine Basis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Das heißt nichts anders als dass ich mir einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ nehmen kann und dann immer eine Darstellung der folgenden Form finde: Sei dazu die Basis $\begin{eqnarray*} B = \{b_1, b_2, b_3 \} \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} v = \alpha b_1 + \beta b_2 + \gamma b_3 \end{eqnarray*}$ ; für $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray*}$ darf ich beliebige reelle Zahlen einsetzen. Was linear unabhängig bedeutet weißt du bestimmt selbst.

Nun kann man an eine Basis natürlich noch weite Forderungen stellen. Zum Beispiel kann man fordern, dass jeder der Basisvektoren die Länge 1 hat. Aus einer einer bereits gegebenen Basis $\begin{eqnarray*} B = \{b_1,b_2, b_3 \} \end{eqnarray*}$ erhalte ich sehr leicht eine Basis die das erfüllt, indem ich einfach jeden Vektor normiere; das kennst du bestimmt.

Nun gibt es noch die Forderung, dass alle Vektoren jeweils senkrecht aufeinander stehen. Um aus einer vorgegebenen Basis eine solche zu erhalten verwendet man das s.o.g. Orthogonalisierungsverfahren von Gram - Schmidt. (einfach mal googlen)

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ haben wir zum Beispiel die Standardbasis $\begin{eqnarray*} B = \{e_1, e_2, e_3 \} = \{ (100) ; (010); (001) \} \end{eqnarray*}$ .
Diese ist sowohl eine Normalbasis, also auch eine Orthogonalbasis. Also eine Orthonormalbasis.
Wenn wir nun diese Basis zugrunde legen, dann bekommst du deine Ortsvektor $\begin{eqnarray*} v_A \end{eqnarray*}$ wie folgt:

$\begin{eqnarray*} v_A = 2 \cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3 = (2,2,1) \end{eqnarray*}$

anschließend kann man den Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Ortsvektors einzeichnen.

Nun kann man aber auch eine andere ONB (Orthonormalbasis) wählen. Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \hat B = - B \end{eqnarray*}$ dann wird jeder Vektor mit $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ multipliziert. Was passiert nun mit unserem Punkt?

Wir erhalten bezüglich $\begin{eqnarray*} \hat B \end{eqnarray*}$ den Vektor $\begin{eqnarray*} v_A = (-2,-2,-1) \end{eqnarray*}$
Wenn wir nun den Punkt einzeichnen liegt der wohl nicht an der gleichen Stelle wie zuvor. Es ist also wichtig, welche ONB uns zugrunde liegt.

Zuletzt noch eine sehr wichtige Information im Zusammenhang mit ONB'en.

Um die Koeffizienten in der Linearkombination (also der Darstellung eines Vektors durch die Basis ) zu bekommen braucht man nur das Skalarprodukt mit dem Basisvektor und dem darzustellenden Vektor zu bilden. Also

$\begin{eqnarray*} v = \langle v, b_1\rangle b_1+ \langle v, b_2\rangle b_2 + \langle v, b_3 \rangle b_3 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe du kannst damit was anfangen..
Gruß Stevie

07.09.2015, 15:40

10001000Nick1

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RE: Orthonormalbasis

Zitat:

Original von steviehawk
Ich beziehe mich mal mit meinen Ausführungen auf den reellen Vektorraum der Dimension 3. Also $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
[...]
Sei dazu die Basis $\begin{eqnarray*} B = \{b_1, b_2 \} \end{eqnarray*}$ ,

Dann sollte deine Basis aber drei Elemente enthalten. Augenzwinkern

07.09.2015, 16:12

steviehawk

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RE: Orthonormalbasis
das stimmt natürlich smile

ich editiere das gleich mal - danke

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