LP umformen in Standard- und Kanonische Form

07.09.2015, 20:50

Haeusmeister

LP umformen in Standard- und Kanonische Form

Meine Frage:
Die Aufgabenstellung lautet:

$\begin{eqnarray*} Minimiere: x_{1}- 2x_{2}- 3x_{3} u.d.N: -x_{1}+ 3x_{2}+ x_{3}\leq 13 x_{1}+ 2x_{2}+ 3x_{3}\geq 12 2x_{1}- x_{2}+ x_{3}= 4 x_{3}\leq -3 x_{1}, x_{2} \Rightarrow uneingeschraenkt \end{eqnarray*}$

Gefragt ist nach:
1.) Standardform
2.) Kanonische Form
3.) In ein Maximierungsproblem umformen

Ich würde mich über eine Kontrolle meiner Ergebnisse sehr freuen smile

Meine Ideen:
1.) Meine Lösung für die Standardform. Bin mir allerdings nicht sicher, wie man die dritte NB (die Gleichung) richtig in die Standardform umwandelt.

$\begin{eqnarray*} Minimiere: \left(x^{'}_{1}-x^{''}_{1}\right)- 2\left(x^{'}_{2}-x^{''}_{2}\right)- 3\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right) u.d.N: -\left(x^{'}_{1}-x^{''}_{1}\right)+3\left(x^{'}_{2}-x^{''}_{2}\right)+\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right)+x_{4}= 13 \left(x^{'}_{1}-x^{''}_{1}\right)+2\left(x^{'}_{2}-x^{''}_{2}\right)+3\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right)-x_{5}= 12 2\left(x^{'}_{1}-x^{''}_{1}\right)-\left(x^{'}_{2}-x^{''}_{2}\right)+\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right)= 4 \left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right)+x_{6} = -3 mit: x_{1}=x^{'}_{1}-x^{''}_{1} x_{2}=x^{'}_{2}-x^{''}_{2} x_{3}=x^{'}_{3}-x^{''}_{3} x^{'}_{1}, x^{''}_{1}, x^{'}_{2}, x^{''}_{2}, x^{'}_{3}, x^{''}_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\geq 0 \end{eqnarray*}$

2.) Meine Lösung für die Kanonische Form

$\begin{eqnarray*} Minimiere: \left(x^{'}_{1}-x^{''}_{1}\right)- 2\left(x^{'}_{2}-x^{''}_{2}\right)- 3\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right) u.d.N: \left(x^{'}_{1}-x^{''}_{1}\right)-3\left(x^{'}_{2}-x^{''}_{2}\right)-\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right)\geq -13 \left(x^{'}_{1}-x^{''}_{1}\right)+2\left(x^{'}_{2}-x^{''}_{2}\right)+3\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right)\geq 12 2\left(x^{'}_{1}-x^{''}_{1}\right)-\left(x^{'}_{2}-x^{''}_{2}\right)+\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right)\geq 4 -2\left(x^{'}_{1}-x^{''}_{1}\right)+\left(x^{'}_{2}-x^{''}_{2}\right)-\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right)\geq -4 -\left(x^{'}_{3}-x^{''}_{3}\right)\geq 3 mit: x_{1}=x^{'}_{1}-x^{''}_{1} x_{2}=x^{'}_{2}-x^{''}_{2} x_{3}=x^{'}_{3}-x^{''}_{3} x^{'}_{1}, x^{''}_{1}, x^{'}_{2}, x^{''}_{2}, x^{'}_{3}, x^{''}_{3} \geq 0 \end{eqnarray*}$

3.) Umwandelung in ein Maximierungsproblem. Die NB bleiben gleich, lediglich die Zielfunktion wird mit -1 multipliziert.

$\begin{eqnarray*} Maximiere: -x_{1}+ 2x_{2}+ 3x_{3} u.d.N: -x_{1}+ 3x_{2}+ x_{3}\leq 13 x_{1}+ 2x_{2}+ 3x_{3}\geq 12 2x_{1}- x_{2}+ x_{3}= 4 x_{3}\leq -3 x_{1}, x_{2} \Rightarrow uneingeschraenkt \end{eqnarray*}$

Ich würde mich sehr freuen, wenn einer das mal kontrollieren könnte smile

Vielen Dank für eure Hilfe.

08.09.2015, 10:12

Math1986

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RE: LP umformen in Standard- und Kanonische Form
Das sieht soweit alles richtig aus, du solltest nur noch die Klammern auflösen.

08.09.2015, 19:41

Haeusmeister

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RE: LP umformen in Standard- und Kanonische Form
Vielen Dank, mehr wollte ich nicht hören Augenzwinkern

Ist es wirklich notwenig, die Klammern aufzulösen?