Einige Fragen zur Auffassung der Stetigkeit

08.09.2015, 01:52

etapitheta

Einige Fragen zur Auffassung der Stetigkeit

Meine Frage:
Besinnliche Nacht alle miteinander,

Mein Studium der Analysis hat mich zum Begriff der Stetigkeit von Funktionen geführt. Ich habe nach Betrachtung der Definition und der Intuitionen hinter dem Begriff einige Zeit über die Definition nachgedacht, einfach weil es für mich wichtig ist eine tiefere, intuitive Vorstellung der mathematischen Sachverhalte zu erlangen.

Es gibt ja verschiedene Anschauungen der Stetigkeit, wobei die Epsilon-Delta Definition beim ersten Durchgang doch sehr ungreifbar scheint. Die aus der Schule bekannte Anschauung, eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne den Stift zu heben zeichnen kann, vermittelt eine etwas leichtere und bildlichere Vorstellung. In diesem Zusammenhang hat sich mir aber eine unangenehme Frage aufgeworfen, von der ich nicht recht weiß, wie sie zu bewerten ist. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.

Nach dem ich mir den Stetigkeitsbegriff durchgelesen hatte, bin ich irgendwie zur Festellung gelangt:

Eine Funktion mit endlichem Definitionsbereich kann nicht stetig sein.

Intuitiv bedeutete "endlicher Definitionsbereich", dass es einen begrenzten Vorrat von Argumenten gab und *deswegen*, konnte die Stetigkeitsbedingung nicht für jedes noch so kleine Epsilon erfüllt sein. Das lag in meiner Anschauung daran, dass es ja nicht beliebig viele kleine x gab, um beliebig nah an einem bestimmten Funktionswert zu bleiben. Deswegen stelle ich mir eine Funktion mit endlichem Definitionsbereich als viele "unverbundene" Punkte vor, die überall einen Sprung haben und damit erst recht nicht ohne den Stift zu heben gezeichnet werden können.

Soweit so gut. Allerdings folgt aus der Definition der Stetigkeit doch streng genommen genau das Gegenteil:

Jede Funktion mit endlichem Definitionbereich ist stetig.

Das möchte ich näher argumentieren. Allerdings, und hier würde ich gerne um Hilfe bitte, denke ich, dass ich bei der Stetigkeit irgendetwas misserverstanden oder übersehen habe und deswegen wäre es sehr gut, wenn ihr mich auf meine falschen Vorstellungen hinweisen könntet.

Meine Ideen:
Aus der Definition der Stetigkeit folgt, dass eine Funktion mit endlichem Definitionsbereich stetig ist. Warum?

Wenn der Definitionsbereich endlich ist, nennen wir ihn $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , so ist auch die Menge $\begin{eqnarray*} A := \left\{ |x-x_0| : x\in D \wedge x \neq x_0 \right\} \end{eqnarray*}$ endlich und zwar für einen beliebigen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , dessen Stetigkeit untersucht werden soll. Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ endlich ist, gibt es auch ein kleinstes Element, d.h. es gibt einen kleinsten Abstand zwsichen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und den anderen $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ echt kleiner als dieser kleinste Abstand gewählt. Für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ kann man nun dieses $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ angeben, was laut Definition die Stetigkeitsbedingung erfüllt, denn:
Für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ gilt ja gerade nicht $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ , da wir $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ so gewält haben, dass $\begin{eqnarray*} |x-x_0| > \delta \end{eqnarray*}$ . Die Impliakation $\begin{eqnarray*} \forall x \in D : |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist somit erfüllt.

08.09.2015, 02:11

ethapitheta

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Es sollte noch erwähnt werden, dass für $\begin{eqnarray*} x = x_0 \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} |x -x_0| = |x_0 - x_0| = |0|= 0 < \delta \end{eqnarray*}$ schon zutrifft, in diesem Fall aber natürlich auch $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| = |f(x_0)-f(x_0)| = |0| = 0 < \epsilon \end{eqnarray*}$ und somit bleibt die Implikation wahr.

Klärt mich auf.

08.09.2015, 02:24

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Das siehst Du richtig. Bei der Stetigkeit in $\begin{align*} x_0\in D \end{align*}$ wird nicht verlangt, dass $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ ein Haeufungspunkt von $\begin{align*} D \end{align*}$ ist. In isolierten Punkten $\begin{align*} x_0\in D \end{align*}$ ist $\begin{align*} f \end{align*}$ immer stetig. Folgt, wie Du gesehen hast, direkt aus der Definition.

08.09.2015, 09:24

etapitheta

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Wenn das tatsächlich so ist, wie ist dieser Umstand denn zu bewerten? Hat die Definition hier eine Schwäche ? Dass ein Graph mit isolierten Punkten stetig ist widerspricht meiner Vorstellung von Stegigkeit.

08.09.2015, 09:35

Leopold

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Zitat:

Original von etapitheta
Dass ein Graph mit isolierten Punkten stetig ist widerspricht meiner Vorstellung von Stegigkeit.

Dann mußt du deine Vorstellung ändern.

Nimm folgendes bekanntes Beispiel:

$\begin{align*} f: \, \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{R} \, , \ \ x \mapsto \frac{1}{x} \end{align*}$

Kann man den Graphen "in einem durchzeichnen"? Ist $\begin{align*} f \end{align*}$ stetig?

08.09.2015, 17:54

etaphitheta

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Schon fast eine philosophische Frage. Die Funktion ist intuitiv und auch laut Definition stetig. Wenn ich sie zeichnen würde könnte ich ja theoretisch z.B. auf der Minusseite hin zur 0 unendlich eine Kurve nach oben ziehen ohne den Stift abzusetzen. Und da es bis zur 0 immer so weiter geht *könnte* man irgendwie behaupten, die Funktion lässt sich durchziehen. Allerdings bleibt ja einfach der Umstand, dass sie bei 0 nicht definiert ist und dort folglich einen Sprung haben muss...dann ist sie für mich irgendwie...halbstetig. Ja der Begriff gefällt mir besser Augenzwinkern

Beide "Hälften" kann man schön durchzeichnen.

08.09.2015, 18:32

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Gemeine Stetigkeit ist punktweise definiert. Ich wuerde auch vorschlagen, dass Du Deine Vorstellungen aenderst. Selbst bei Stetigkeit auf einem Intervall hat die Idee mit dem "am Stueck durchzeichnen koennen" so ihre Tuecken. Der Graph koennte unendlich lang sein und/oder unendlich "verwurstelt" (Fraktal). Oder die Funktion ist nur fuer rationales Argument definiert, usw.

08.09.2015, 22:09

etapitheta

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Ja ich werde an meiner Vorstellung arbeiten...ich finde es aber schonmal gut, dass ich erkannt habe, dass es, wie du sagtest, Tuecken gibt, bei der Vorstellung als "durchgezogene Linie". Es heißt, dass ich die Definition doch besser vertanden habe, als ich glaubte (und mich die Idee, die man mir zu vermitteln versuchte dadruch, etwas "misleading" war) Augenzwinkern

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