Kann Funktion, die auf N definiert ist, stetig sein?

08.09.2015, 02:36

FreFeu2015

Kann Funktion, die auf N definiert ist, stetig sein?

Meine Frage:
Ich finde trotz eifrigem suchen keine Antwort auf die Frage, ob eine Funktion, deren Definitionsbereich die natürlichen oder die ganzen Zahlen sind, stetig sein kann. Und zwar generell, also nicht wegen irgendeiner total komplizierten Konstruktion. Z.B. f(x) = 2x mit x Element aus Z (Z = ganze Zahlen).

Meine Ideen:
Meines Erachtens ist die Funktion stetig, da der Grenzwert von f(x) für alle x existiert und gleich dem Funktionswert ist. Werte von x, die dieses Kriterium evtl. nicht erfüllen könnten, gehören nicht zum Definitionsbereich und führen daher nicht zur Verneinung der Stetigkeit.

08.09.2015, 02:46

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RE: Kann Funktion, die auf N definiert ist, stetig sein?
Bist Du ein Kumpel von "etapitheta"? Die Frage hatten wir doch gerade fast schon. Antwort: Eine Funktion ist stetig in isolierten Punkten ihres Definitionsbereichs. Und nein: Grenzwerte existieren in diesem Falle nicht, da in der Grenzwertdefinition verlangt wird, dass die Grenzwertstelle ein Haeufungspunkt des Definitionsbereichs ist.

08.09.2015, 02:55

FreFeu2015

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RE: Kann Funktion, die auf N definiert ist, stetig sein?

Zitat:

Original von rg
Bist Du ein Kumpel von "etapitheta"? Die Frage hatten wir doch gerade fast schon. Antwort: Eine Funktion ist stetig in isolierten Punkten ihres Definitionsbereichs. Und nein: Grenzwerte existieren in diesem Falle nicht, da in der Grenzwertdefinition verlangt wird, dass die Grenzwertstelle ein Haeufungspunkt des Definitionsbereichs ist.

Nein, ich bin kein "Kumpel von 'etapitheta'" und das System meinte, es gäbe noch keine Antworten.

Zu deiner Antwort: Ich entnehme dem, das die Funktion aus meinem Beispiel also keine stetige Funktion ist, weil man den Grenzwert nicht bestimmen kann. Es hängt wohl an dem, was ich bereits herausgefunden habe, nämlich daß es sich um isolierte Punkte oder um Häufungspunkte handeln muß.

Ich schaue nochmal nach, was das ist und melde mich ggfs.

Danke!

Gruß

F.

08.09.2015, 03:04

FreFeu2015

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Ich glaube, ich habe es verstanden und bitte um bestätigung oder Ablehnung:

Eine Funktion ist stetig in einem Punkt oder im Def.-Bereich, wenn alle Punkte diese Voraussetzung erfüllen, wenn

entweder der Grenzwert der Funktion an der Stelle existiert und gleich dem Funktionswert ist
oder es sich um einen isolierten Punkt handelt

Die erste Voraussetzung ist nicht gegeben, die zweite ist aber bei allen Funktionen auf N oder Z gegeben, also ist meine Funktion im gesamten Definitionsbereich stetig.

Richtig?

Gruß

F.

08.09.2015, 03:37

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Ja, das stimmt so. Ich wuerde mir dabei aber nichts Besonderes denken. Das ist einfach ein an sich belangloser Spezialfall der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit, der sich halt so ergibt: "Nichts tun, wenn's nicht unbedingt sein muss". Drum sind halt alle Funktionen in isolierten Punkten stetig. Ich wuesste nicht, was man damit anfangen soll.

Zusatzaufgabe: Sei $\begin{align*} f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R} \end{align*}$ definiert durch $\begin{align*} f(x):=0 \end{align*}$ fuer $\begin{align*} x<\sqrt{2} \end{align*}$ und $\begin{align*} f(x):=1 \end{align*}$ fuer $\begin{align*} x>\sqrt{2} \end{align*}$ . Wo ist $\begin{align*} f \end{align*}$ stetig?

08.09.2015, 14:04

RavenOnJ

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Lies mal die Definition der Stetigkeit. Da geht es bei den $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebungen nur um solche Punkte, die gleichzeitig im Definitionsbereich liegen. Die $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebungen um einen isolierten Punkt $\begin{align*} \xi \end{align*}$ bestehen für genügend kleine $\begin{align*} \delta \end{align*}$ nur aus diesem Punkt selber. Damit gilt automatisch für alle $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebungen des Funktionswertes $\begin{align*} f(\xi) \end{align*}$ , dass es ein $\begin{align*} \delta \end{align*}$ gibt, sodass die Bedingung an die Stetigkeit in diesem Punkt erfüllt ist.

08.09.2015, 15:19

FreFeu2015

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Lies mal die Definition der Stetigkeit. Da geht es bei den $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebungen nur um solche Punkte, die gleichzeitig im Definitionsbereich liegen. Die $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebungen um einen isolierten Punkt $\begin{align*} \xi \end{align*}$ bestehen für genügend kleine $\begin{align*} \delta \end{align*}$ nur aus diesem Punkt selber. Damit gilt automatisch für alle $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebungen des Funktionswertes $\begin{align*} f(\xi) \end{align*}$ , dass es ein $\begin{align*} \delta \end{align*}$ gibt, sodass die Bedingung an die Stetigkeit in diesem Punkt erfüllt ist.

Das war mein 1. Gedanke, als ich mich mit der Definition beschäftigt habe. Ich war mir nur nicht sicher, daß man das so machen "darf".

F.

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