Supremum, Maximum, obere Schranke

08.09.2015, 10:37

eldolorenmiscojones

Supremum, Maximum, obere Schranke

Meine Frage:
Der Unterschied zwischen den Begriffen...

Meine Ideen:
Im Moment verstehe ich es so:

a) obere Schranke: Keine Zahl aus der betrachteten Menge ist größer als diese obere Schranke, es gibt immer unendlich viele obere Schranken

b) Maximum: Nur endliche Mengen haben ein Maximum, es ist dort gleichzeitig Supremum

c) Supremum: Nimmt man bei unendlichen Mengen als Ersatz für das Maximum

Stimmt das so?

08.09.2015, 10:51

bijektion

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Sei $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Menge. Wenn für eine Zahl $\begin{eqnarray*} S\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} S\geq x \end{eqnarray*}$ gilt, so nennt man $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke. Damit ist natürlich jedes $\begin{eqnarray*} S'>S \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine obere Schranke.

Gilt zusätzlich noch $\begin{eqnarray*} S\in M \end{eqnarray*}$ , so heißt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ das Maximum der Menge. Das kann auch bei überabzählbaren Menge existieren, bei endlichen Mengen ist die Existenz aber immer gewährleistet.

Das Supremum existiert bei jeder nach oben beschränkten Menge (im Gegensatz zum Maximum!). Ist z.B. $\begin{eqnarray*} M=[0,1) \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \sup M =1 \end{eqnarray*}$ und jede Zahl $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist eine obere Schranke. Das Maximum von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ existiert aber nicht (Warum?).

08.09.2015, 10:52

10001000Nick1

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RE: Supremum, Maximum, obere Schranke

Zitat:

Original von eldolorenmiscojones
a) obere Schranke: Keine Zahl aus der betrachteten Menge ist größer als diese obere Schranke, es gibt immer unendlich viele obere Schranken

Richtig.

Zitat:

Original von eldolorenmiscojones
b) Maximum: Nur endliche Mengen haben ein Maximum, es ist dort gleichzeitig Supremum

c) Supremum: Nimmt man bei unendlichen Mengen als Ersatz für das Maximum

Das stimmt beides nicht.

Das Supremum einer (endlichen oder unendlichen) nach oben beschränkten Menge ist die kleinste obere Schranke.
Liegt das Supremum in der Menge, so nennt man dieses Supremum auch Maximum. Sonst besitzt die Menge kein Maximum.
Dabei können auch unendliche Mengen ein Maximum besitzen.
Endliche Mengen haben immer ein Maximum.

Z.B. ist $\begin{eqnarray*} \sup((0,1))=1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ besitzt kein Maximum, weil $\begin{eqnarray*} 1\not\in(0,1) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ hat das selbe Supremum, und wegen $\begin{eqnarray*} 1\in[0,1] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sup([0,1])=\max([0,1])=1 \end{eqnarray*}$ .

08.09.2015, 11:34

eldolorenmiscojones

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Aaah okay, also

a) endliche nach oben beschränkte Menge = immer Maximum, das ist dann auch gleich das Supremum

b) unendliche nach oben beschränkte Menge = nicht immer Maximum, aber immer Supremum vorhanden

und analog bei nach unten beschränkten Mengen

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