Ausfluss eines Körpers berechnen

08.09.2015, 11:36	donpepe91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausfluss eines Körpers berechnen Hallo mal wieder plagt mich eine Aufgabe : Gegeben ist der Körper K:= (x,y,z) E R^3 $\begin{eqnarray} x^2+4y^2 \end{eqnarray}$ kleiner gleich 1 noch dazu kommt 1 kleiner gleich z kleiner gleich 3 ( irgendwie klappt das mit dem kleiner gleich Zeichen nicht . jemand einen tipp?) Berechnen Sie den Ausfluss von R^3 durch den Rand K mit g(x,y,z) = (x^3 , 2xy^2, z) Ich hätte das ganze parametrisiert zunächst : also : ( r cos(phi) , r sin(phi) , z ) aber das zeigt ja keinen Kreis sondern eine Ellipse also müsste für die y- Koordinate ein vielfaches von r auftauchen oder?
10.09.2015, 10:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Körper ist ein Zylinder, dessen Querschnittfläche kein Kreis, sondern eine Ellipse ist. Zur Parametrisierung verwendet man elliptische Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray} x=r \cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=0,5 \cdot r \cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=z \end{eqnarray}$ Die 3 Parameter $\begin{eqnarray} r, \phi, z \end{eqnarray}$ bewegen sich in folgenden Intervallen $\begin{eqnarray} 0\leq r\leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq \phi \leq 2\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1\leq z\leq 3 \end{eqnarray}$ Für das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec g=\begin{pmatrix} x^3 \\ 2xy^2 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sollst du folgendes Oberflächenintegral berechnen: $\begin{eqnarray} I=\oint \vec g\,d\vec A \end{eqnarray}$ Mit dem Gaußschen Satz kann man auch folgendes Volumenintegral berechnen, welches zum obigen Oberflächenintegral identisch ist $\begin{eqnarray} I=\int div(\vec g)\,dV \end{eqnarray}$

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