Hauptsatz der ebenen Kurventheorie

08.09.2015, 12:19	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptsatz der ebenen Kurventheorie Meine Frage: Hallo Leute, in meinem Skript habe ich den Beweis des Hauptsatzes der ebenen Kurventheorie stehen. Leider finde ich den Teil der Eindeutigkeit etwas umständlich. Oder er ist zumindest so aufgeschrieben, dass ich ihn kaum nachvollziehen kann. Ich hatte jetzt in Erinnerung, dass das auch über DGL's geht. Meine Ideen: Also zur Eindeutigkeit. Diese ist ja nur bis auf eine eigentliche euklidische Bewegung gegeben. Das bedeutet, wenn ich zwei Kurven $\begin{eqnarray} \alpha, \beta : I \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ habe. Dann existiert eine eigentliche euklidische Bewegung $\begin{eqnarray} F: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \ ; F(x) = Ax + b \ ; A \in O(2), b \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Nun nehme ich ein $\begin{eqnarray} t_0 \in I \end{eqnarray}$ und betrachte die zwei Gleichungen: (1) $\begin{eqnarray} \alpha(t_0) = A \beta(t_0) + b \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} \alpha'(t_0) = A \beta'(t_0) \end{eqnarray}$ Da ja $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ nach der Bogenlänge parametrisiert sind, sind $\begin{eqnarray} \alpha'(t_0) , \beta'(t_0) \in \mathbb S^1 \end{eqnarray}$ . Also existiert genau ein $\begin{eqnarray} A \in O(2) \end{eqnarray}$ so dass (2) gilt. Aus (1) erhalte ich mit diesem $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Nun stellt sich die Frage: Warum gilt dann (1) auch für alle anderen $\begin{eqnarray} t \in I \end{eqnarray}$ ??? Müsste das nicht mit dem Satz von Picard Lindelöff folgen? Vielen Danke für die HIlfe

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