Folge, Reihe, Partialsumme

08.09.2015, 20:01

4r5t6z bgfffff

Folge, Reihe, Partialsumme

Meine Frage:
Die Bedeutung der Begriffe...

Meine Ideen:
> Folge = Funktion N -> R, bspw. 1,2,3,4,5,6,7,8,...

> Partialsumme = Eine Summe einer bestimmten Anzahl von Gliedern, bspw. ist bezogen auf obige Folge die 4te-Partialsumme 10.

> Endliche Reihe = Eine Folge von n Partialsummen, hier ist beispielsweise 4te-Reihe (also die Folge der ersten 4 Partialsummen) 1, 3, 6, 10

Den Grenzwert solcher Reihen nennt man Wert oder Summe der Reihe.

Von einer solchen Reihe kann ich auch wieder Partialsummen bilden. Hier wäre die 3te-Partialsumme der Reihe 9

> Unendliche Reihe = Folge aller Partialsummen

Den Grenzwert solcher Reihen nennt man Wert oder Summe der Reihe.

Stimmt das so? Ich komm da ständig durcheinander...

09.09.2015, 00:19

Mulder

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RE: Folge, Reihe, Partialsumme

Zitat:

Original von 4r5t6z bgfffff
Meine Frage:
Die Bedeutung der Begriffe...

Meine Ideen:
> Folge = Funktion N -> R, bspw. 1,2,3,4,5,6,7,8,...

Dass auf die reellen Zahlen abgebildet wird, wird bei der Definition einer Folge eigentlich nicht verlangt. Nur, dass der Definitionsbereich die natürlichen Zahlen sind.
Also eher sowas wie "Abbildung N -> X", wobei X irgendeine Menge ist.
Und ja, eine Reihe ist auch einfach eine Folge. Nämlich eine Folge von Partialsummen. Und wenn diese Reihe konvergent ist, ist deren Grenzwert dann eben der Wert bzw. die Summe der Reihe, ja. Man schreibt halt z.B.

$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{i=1}^n i \end{eqnarray*}$

und erhält z.B. $\begin{eqnarray*} a_4=10 \end{eqnarray*}$ , genau. Und bei der Frage, ob diese Reihe (also die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) konvergiert, schaut man sich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ an.

Zitat:

Von einer solchen Reihe kann ich auch wieder Partialsummen bilden. Hier wäre die 3te-Partialsumme der Reihe 9

Hier weiß ich nicht genau, was du meinst. Du willst eine Folge konstruieren, die die Partialsummen nochmal wieder aufsummiert, oder wie ist das gemeint? Kann man machen, wenn man Spaß dran hat. Prinzip bleibt das gleiche.

09.09.2015, 13:59

4r5t6z bgfffff

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Super, vielen Dank schon mal für die Antwort.

Das mit der Partialsumme der Reihe frage ich, weil ich in einem Mathebuch Folgendes gelesen habe (von mir etwas gekürzt):

"Gegeben sei eine Folge a $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ .
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\inf}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ ist die Folge s $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ .
Das n-te Folgenglied $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ heißt n-te Partialsumme der Reihe. Die Elemente a $\begin{eqnarray*} _k \end{eqnarray*}$ heißen die Reihenglieder der Reihe."

> Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\inf}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ ist die Folge s $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$

Wieso ist denn die unendliche Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\inf}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ ? Letzteres ist doch eine endliche Summe von Folgegliedern, oder?

> Das n-te Folgenglied $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ heißt n-te Partialsumme der Reihe.

Also das n-te Glied der ursprünglichen Folge ist die n-te Partialsumme der Reihe?? Müsste es nicht heißen "das n-te Glied der Reihe ist die n-te Partialsumme der Folge"? Oder kann man eben von der Reihe auch wieder Partialsummen bilden?

09.09.2015, 14:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von 4r5t6z bgfffff
"Gegeben sei eine Folge a $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ .
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\inf}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ ist die Folge s $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ .

Da hast du zuviel weggekürzt. Korrekt ist: Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\infty}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} s_n := \sum\limits^{n}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von 4r5t6z bgfffff
Das n-te Folgenglied $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ heißt n-te Partialsumme der Reihe.

Auch hier lohnt es sich zum Verständnis eine Kleinigkeit zu ergänzen:

Das n-te Folgenglied $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1} a_k \end{eqnarray*}$ der Folge (s_n) heißt n-te Partialsumme der Reihe.

Das hat also mit dem n-ten Glied der ursprünglichen Folge nichts zu tun.

09.09.2015, 18:12

4r5t6z bgfffff

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Also ich verstehe es jetzt so:

Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ : 1, 3, 5, 7, ...

1. Partialsumme: 1
2. Partialsumme: 1+3 = 4,
3. Partialsumme: 1+3+5 = 9,
4. Partialsumme: 1+3+5+7 = 16
usw...

Die dazugehörige Folge von Partialsummen bzw. Reihe ist 1,4,9,16,...

Das Symbol für die Partialsumme ist: $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1}a_k \end{eqnarray*}$ .

Das Symbol für die Reihe ist: $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\infty}_{k=1}a_k \end{eqnarray*}$ und das ist gleich ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=1}a_k \end{eqnarray*}$ ), wobei die Klammern hier wichtig sind, damit man sieht, dass es eine Folge sein soll.

Wenn die Folge der Partialsummen konvergiert, dann ist deren Grenzwert der Wert der dazugehörigen Reihe.
Diesen Grenzwert bezeichnet man auch mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits^{\infty}_{k=1}a_k \end{eqnarray*}$ bzw.mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} (\sum\limits^{n}_{k=1}a_k) \end{eqnarray*}$

Das ist wohl aber falsch, wenn ich mir dieses Beispiel angucke: de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Zahlenbeispiel

Was ich nicht verstehe: Wenn die Reihe eine Folge von Partialsummen ist, wieso werden dann im Beispiel zur geometrischen Reihe die Glieder der Folge aufsummiert? Bezogen auf das Beispiel müsste nach meinem Verstehen die geometrische Reihe so lauten: 5,20,65,200,... weil das ja die Partialsummen der Folge 5,15,45,135,... sind.

So, wie es in dem Beispiel steht, ist die geometrische Reihe ja einfach nur die unendliche Summe der Folgeglieder... Wieso brauch ich dann da noch die Partialsummen? Nur für den Grenzwert?

09.09.2015, 18:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von 4r5t6z bgfffff
So, wie es in dem Beispiel steht, ist die geometrische Reihe ja einfach nur die unendliche Summe der Folgeglieder... Wieso brauch ich dann da noch die Partialsummen? Nur für den Grenzwert?

Dein "einfach" riecht nach Zirkelschluss: Wie sind denn unendliche Summen definiert? Nur über eine Grenzwertbildung!!! Daher also diese ganze Definition über die (endlichen) Partialsummen, so wie du es vorher völlig richtig dargestellt hast.

Wieso du anhand des angeführten Beispiels das als "falsch" hältst, verstehe ich nicht so ganz. verwirrt

Zitat:

Original von 4r5t6z bgfffff
Wieso brauch ich dann da noch die Partialsummen? Nur für den Grenzwert?

Genau deshalb.

09.09.2015, 18:58

4r5t6z bgfffff

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Naja, ich finde es schon verwirrend, wenn die Reihe einerseits als Folge von Partialsummen bezeichnet wird, aber dann andererseits doch die Glieder der ursprünglichen Folge aufsummiert werden...

Aus Wikipedia:

"Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."

Ist das dann nicht falsch? Wenn ich bei der geometrischen Reihe die Glieder der geometrischen Folge addiere, dann sind die Glieder der Reihe ja nicht die Partialsummen dieser Folge, sondern die tatsächlichen Glieder dieser Folge.

Und wenn ich die geometrische Reihe so aufschreibe: a1 + a2 + a3 + ... dann ist das ja nicht wirklich eine Folge, oder? Bei einer Folge werden die Glieder doch per Komma getrennt...?

Also angenommen die Folge wäre 2,4,6,8...

Dann lautet die Reihe dazu eben doch nicht 2,6,12,20 sondern 2 + 4 + 6 + 8 + ....

Die Folge der Partialsummen brauche ich dann, wenn ich den Wert der Reihe ermitteln will, aber ich brauche sie nicht, um die eigentliche Reihe aufzuschreiben.

10.09.2015, 09:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von 4r5t6z bgfffff
"Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."

Ist das dann nicht falsch?

Ja, die zitierte Aussage ist nicht falsch, das heißt, sie ist völlig korrekt.

Zitat:

Original von 4r5t6z bgfffff
Also angenommen die Folge wäre 2,4,6,8...

Dann lautet die Reihe dazu eben doch nicht 2,6,12,20 sondern 2 + 4 + 6 + 8 + ....

Du hast da immer noch ein Mißverständnis. In der Tat lautet, die Reihe 2, 6, 12, 20, ... . Die einzelnen Glieder der Reihe (die ja auch eine Folge ist) ergeben sich aus den Partialsummen einer anderen Folge. Man könnte die Reihe auch so schreiben:
2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, ...

Zitat:

Original von 4r5t6z bgfffff
Die Folge der Partialsummen brauche ich dann, wenn ich den Wert der Reihe ermitteln will, aber ich brauche sie nicht, um die eigentliche Reihe aufzuschreiben.

Wie willst du denn die eigentliche Reihe aufzuschreiben, wenn nicht mit Hilfe der Partialsummen?

10.09.2015, 11:01

HAL 9000

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@4r5t6z bgfffff

Was Begriffsverwirrung im Zusammenhang mit Reihen betrifft, ist für dich vielleicht auch folgende kürzliche Anfrage

Der Begriff Reihenglied

ganz interessant - möglicherweise plagen dich ähnliche Fragen.

10.09.2015, 17:06

4r5t6z bgfffff

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@klarsoweit:

okay: Dann eine letzte Frage:

Wenn ich die Reihe richtig aufgeschrieben habe, wieso wird dann auf der Wikipedia-Seite beim ersten Zahlenbeispiel das hier als geometrische Reihe bezeichnet:

5 + 15 + 45 + 135 + ...

und nicht das hier:

5, 20, 65, 200,...

?

10.09.2015, 17:57

HAL 9000

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Solange klarsoweit nicht da ist, antworte ich mal vertretungsweise:

$\begin{align*} a_1 + a_2 + a_3 + \ldots \end{align*}$ ist nur eine saloppe Schreibweise für $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{align*}$ , wenn du also letztere Schreibweise (in allen bisher diskutierten Aspekten) verstanden hast, dann gibt's übere erstere Schreibweise nun auch nichts tiefschürendes mehr zu sagen - die hat sich eben so eingebürgert.

10.09.2015, 19:14

4r5t6z bgfffff

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Ich nehme mal an, der Clou an der Sache ist jetzt, dass bei beiden Schreibweisen dasselbe rauskommt? Wenn ich also bei beiden Schreibweisen den Grenzwert bilde (sofern er vorhanden ist), dann ist er gleich und es ist egal, ob ich die Glieder der Folge unendlich addiere oder bis ins Unendliche alle Partialsummen aufschreibe...?

11.09.2015, 08:31

klarsoweit

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Von mir aus kann man das so formulieren. smile

11.09.2015, 17:08

4r5t6z bgfffff

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Yippie!

Vielen Dank euch beiden!! Schwierige Geburt...

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Folge, Reihe, Partialsumme

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