Metrischer Raum, beschränkte Funktion

09.09.2015, 08:05	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrischer Raum, beschränkte Funktion Sei $\begin{eqnarray} (M,d) \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum und $\begin{eqnarray} C(M,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ der Raum der stetigen Funktionen auf M mit Werten in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Falls jedes $\begin{eqnarray} f \in C(M, \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ beschränkt ist so ist $\begin{eqnarray} (M,d) \end{eqnarray}$ vollständig. Hallo, Ich hätte an einen indirekten Beweis gedacht. Ang $\begin{eqnarray} \exists (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ Cauchyfolge in M ohne Grenzwert: $\begin{eqnarray} \forall x \in M: \exists \epsilon>0: \forall N \in \mathbb{N}: \exists n \ge N: d(x_n,x)>\epsilon \end{eqnarray}$ Aus der Stetigkeit folgt: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ so existiert ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ so dass für $\begin{eqnarray} d(x_n,x_m) < \delta \Rightarrow \|f(x_n)-f(x_m)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Da für alle $\begin{eqnarray} \psi >0 \end{eqnarray}$ ein N existiert so dass $\begin{eqnarray} \forall n,m \ge N: d(x_n,x_m)< \psi \end{eqnarray}$ existiert auch ein $\begin{eqnarray} N_1 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} d(x_n,x_m)< \delta \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n,m \ge N_1 \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} (f(x_n))_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ist eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit üblicher Metrik. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} f(x_n) \rightarrow y (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray}$ da der Raum vollständig ist. Ich komme da nicht wirklich weiter...Könnt ihr mir helfen? LG, MaGi
09.09.2015, 08:44	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Liegt der Grenzwert denn irgendwo oder kannst du mehr darüber sagen? Beachte, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist, d.h. die Werte von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ "springen" nicht einfach so rum.
09.09.2015, 20:53	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich bin trotz langer Überlegung mit meinen Ansatz in Beitrag 1 nicht weitergekommen: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0 \exists N: \forall n \ge N: \|f(x_n)-y\|<\epsilon \end{eqnarray}$ Ich hätte überlegt ob irgendwie folgt, dass $\begin{eqnarray} y \in f(M) \end{eqnarray}$ liegt aber ich weiß nicht recht wie. Denn im Allgemeinen muss y nicht in der Wertemenge von f liegen. Der Stetigkeit mittels Folgen geht jedoch nur in die eine Richtung: $\begin{eqnarray} x_n \rightarrow x \Rightarrow f(x_n) \rightarrow f(x) \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ konvergiert ja bezüglich d nicht. Ich muss eine steige Funktion von M nach $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ finden, die nicht beschränkt ist. $\begin{eqnarray} \exists x \in M: \forall G \in \mathbb{N}: \|f(x)\| \ge G \end{eqnarray}$ Die Funktion muss d(.,.) in irgendeiner Form enthalten weil wir ja sonst keine Funktion von $\begin{eqnarray} M \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ erhalten. Ich hatte noch als Ansatz: $\begin{eqnarray} f(x):= \frac{1}{inf_{n\in\mathbb{N}} d(x,x_n)} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \forall \psi>0, m \ge N_1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|f(x_m)\| = \frac{1}{inf_{n\in\mathbb{N}} d(x_m,x_n)}> \frac{1}{d(x_{N_1},x_m)}> \frac{1}{\psi} \end{eqnarray}$ ABer da verwende ich gar nicht, dass $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ nicht konvergiert, also kann das auch nicht passen. Hast du vlt. noch einen Tipp? Ich krieg das nicht hin..-.- LG, MaGi
10.09.2015, 00:31	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da Bijektion scheinbar gerade nicht da ist, werde ich mal antworten. Hast du schon die Vervollständigung metrischer Räume zur Verfügung? Damit würde es recht schnell gehen.

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