[Mengenlehre] Relation zweier identischer Mengen ohne Rekursion definieren

09.09.2015, 14:59

Ungelehrter

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[Mengenlehre] Relation zweier identischer Mengen ohne Rekursion definieren

Grüßt euch,

sei $\begin{eqnarray*} R \subset A \times A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_1, a_2) \end{eqnarray*}$ ein Tupel von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , dann soll folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} R := \{(a_1, a_2) \mid \nexists a_2 : a_1 = a_2\} \end{eqnarray*}$

Damit möchte ich ausdrücken, dass, wenn ein Wert in $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ enthalten ist, er auf keinen Fall in $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ enthalten sein kann. Ist das so richtig geschrieben?

Oder muss es genauer so heißen:
$\begin{eqnarray*} R := \{(a_1, a_2) \mid \forall a_1 \nexists a_2 : a_1 = a_2\} \end{eqnarray*}$

Hier etwas konkreter. Wenn $\begin{eqnarray*} (1, 5) \in R \end{eqnarray*}$ , dann kann es kein Tupel $\begin{eqnarray*} (x, 1) \in R \end{eqnarray*}$ mehr geben.

Dieser Ausdruck sagt ja nur aus, dass innerhalb eines Tupels die Werte nicht gleich sein dürfen.
$\begin{eqnarray*} R := \{(a_1, a_2) \mid a_1 \neq a_2\} \end{eqnarray*}$

09.09.2015, 17:44

Elvis

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Meinst Du vielleicht die folgende Aussage :

$\begin{eqnarray*} (*_R) \equiv (a_1,a_2)\in R\subset A\times A\Rightarrow \forall (a_3,a_4)\in R:a_4\ne a_1 \end{eqnarray*}$

Das ist keine Menge, sondern eine Aussage über eine Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$

Wenn Du nun die Menge aller derartiger Relationen bilden möchtest, dann ist das $\begin{eqnarray*} Q:=\{R\subset A\times A: (*_R)\} \end{eqnarray*}$

09.09.2015, 18:48

Ungelehrter

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Nein, ich wollte tatsächlich eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \times A \end{eqnarray*}$ haben, die so definiert ist, wie geschrieben.

Existiert ein Tupel $\begin{eqnarray*} (1, 2) \in R \end{eqnarray*}$ darf es kein Tupel $\begin{eqnarray*} (x, 1) \end{eqnarray*}$ und auch kein Tupel $\begin{eqnarray*} (2, y) \end{eqnarray*}$ mehr geben.

Wenn $\begin{eqnarray*} A = \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} A \times A = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\} \end{eqnarray*}$

Ein mögliches $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ wäre nun $\begin{eqnarray*} \{(1,2), (1,3)\} \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} \{(2,1), (3,1)\} \end{eqnarray*}$

Der erste Wert eines Tupels in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ darf niemals dem zweiten Wert eines anderen oder desselben Tupels in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gleichen. Daraus folgt unwiderruflich auch der Umkehrschluss, dass der zweite Wert eines Tupels in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ niemals dem ersten Wert eines anderen oder desselben Tupels in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gleichen darf.

Für zwei beliebige Tupel $\begin{eqnarray*} (a_1, a_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_3, a_4) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} (a_1, a_2), (a_3, a_4) \in R : a_1 \neq a_4 \land a_2 \neq a_3 \land a_1 \neq a_2 \land a_3 \neq a_4 \end{eqnarray*}$

So, aber wie beziehe ich das in meine Definition von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ im Eingangsbeitrag mit ein?

smile

smile

EDIT: Ich denke dein Post hat dennoch geholfen. Die Aussage kann ja trotzdem formulieren und in die Definition meiner Menge mit einbringen.

09.09.2015, 19:33

Elvis

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Die Aussage für $\begin{eqnarray*} R\subset A\times A \end{eqnarray*}$ hast Du jetzt selbst hingeschrieben, damit hast du Deine Frage vollständig beantwortet.
Eine korrekte Schreibweise ist : $\begin{eqnarray*} (a,b),(c,d)\in R\Rightarrow a\ne c,a\ne d,b\ne c,b\ne d \end{eqnarray*}$
Eine Aussage ist eine Aussage, man kann sie nicht als Menge schreiben. Eine Menge ist wie in meiner ersten Antwort die Menge aller Relationen, für die diese Aussage gilt.

09.09.2015, 19:53

Ungelehrter_mobil

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Und welches Symbol ist fur die Aussage zugelassen? Du hast ja $\begin{eqnarray*} (*_R) \end{eqnarray*}$ verwendet. Was ist da noch erlaubt? smile

smile

09.09.2015, 20:00

Elvis

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Was immer Du möchtest, denn es wird durch die Aussage als abgekürzte Schreibweise für die Aussage definiert. Damit es in der Eigenschaft der Menge $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ benutzt werden kann, muss das Symbol irgendwie (z.B. wie bei mir als Index) den allgemeinen Namen der Relationen $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ enthalten. In die Menge $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ kannst Du natürlich dies Aussage selbst als definierende Eigenschaft der Menge von Relationen hineinschreiben.

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09.09.2015, 22:28

Ungelehrter

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Ich habe jetzt noch einmal alles aufmerksamer durchgelesen. Ich will natürlich keine Menge aller Relationen, auf die die Bedingung/Aussage zutrifft, angeben, sondern lediglich eine Relation mit dieser Bedingung.

Zitat:

Original von Elvis
Eine korrekte Schreibweise ist : $\begin{eqnarray*} (a,b),(c,d)\in R\Rightarrow a\ne c,a\ne d,b\ne c,b\ne d \end{eqnarray*}$

Die Schreibweise habe ich angenommen, nur ein kleiner Fehler müsste dir unterlaufen sein. Es sollte doch $\begin{eqnarray*} a\ne b,a\ne d,c\ne b,c\ne d \end{eqnarray*}$ lauten.

Zitat:

Original von Elvis
Eine Aussage ist eine Aussage, man kann sie nicht als Menge schreiben.

Das verwirrt mich.

Wenn ich schreibe $\begin{eqnarray*} R := \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B \land a \neq b\} \end{eqnarray*}$ , dann ist das doch eine durchaus richtig formuliert definierte Menge, obwohl eine Aussage darin steckt.

10.09.2015, 09:21

Elvis

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1. Für eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in A, a\ne b \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} R:=\{(a,b)\} \end{eqnarray*}$ eine Relation mit der gewünschten Eigenschaft $\begin{eqnarray*} (*_R)\equiv (a,b)\in R\Rightarrow ((c,d)\in R\Rightarrow a\ne d) \end{eqnarray*}$ .
Das ist die Eigenschaft, die Du in Deinem ersten Beitrag gewünscht hast, mir scheint, dass Du danach die Spielregeln geändert hast. Wenn Du wirklich nur eine Relation angeben willst, bist Du damit fertig.

2. Wenn Du sagen möchtest, dass eine Relation $\begin{eqnarray*} R\subset A\times A \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} (*_R) \end{eqnarray*}$ hat, sind wir wieder bei meiner ersten Antwort, die Aussage lautet dann:
Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} R\subset A\times A \end{eqnarray*}$ eine Relation mit $\begin{eqnarray*} (a,b)\in R\Rightarrow ((c,d)\in R\Rightarrow a\ne d) \end{eqnarray*}$

3. Mir ist ein Fehler unterlaufen, aber nicht der, den Du vermutest. Es gibt keine nichtleere Relation mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} (a,b),(c,d)\in R\Rightarrow a\ne c,a\ne d,b\ne c,b\ne d \end{eqnarray*}$ .
Beweis: Für $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (a,b):=(x,y)\in R,(c,d):=(x,y)\in R \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a=c \end{eqnarray*}$ .

4. Eine Aussage ist eine Aussage, eine Menge ist eine Menge, eine Aussage ist keine Menge, eine Menge ist keine Aussage. Der Zusammenhang zwischen Mengen und Aussagen besteht darin, dass man viele Mengen durch Aussagen definieren kann, z. B. so dass man $\begin{eqnarray*} M\subset \Omega \end{eqnarray*}$ als Teilmenge aller $\begin{eqnarray*} x\in \Omega \end{eqnarray*}$ definiert, die eine Eigenschaft $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ haben, für die also die Aussage $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ wahr ist. Das geht z.B. so : $\begin{eqnarray*} M:=\{x\in \Omega:A(x)\} \end{eqnarray*}$

10.09.2015, 10:16

Ungelehrter

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Ich bin mir nicht ganz sicher, welche Spielregeln du meinst, die ich geändert haben soll.^^ Ich wollte schon seit dem ersten Beitrag eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \times A \end{eqnarray*}$ haben, mit der Eigenschaft, dass, wenn der Tupelwert an erster Stelle bereits zu finden ist, es kein Tupel mehr geben darf, in dem dieser Tupelwert an zweiter Stelle auftaucht. Ich konnte das im ersten Beitrag nur nicht richtig ausdrücken.

Noch mal zum Thema "Aussage über eine Menge" und "Definition einer Menge":

Hier auf Mathebibel steht zur Vereinigungsmenge:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\} \end{eqnarray*}$

Und da steht auch, wie man das zu lesen hat. Es ist die Menge aller $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} x \in A \lor x \in B \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist doch eine Aussage und sie befindet sich mitten in der Definition.

Da steht auch nicht, dass für eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und eine Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R:=\{r\} \end{eqnarray*}$ ist, mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} (*_r) \equiv r \in R \Rightarrow (r \in A \lor r\in B) \end{eqnarray*}$

10.09.2015, 11:13

Elvis

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Du hast recht, Deine Spielregeln sind konsistent. Ich habe mich geirrt, deshalb war meine zweite Antwort falsch, was ich in meiner vierten Antwort korrigiert habe.

Zum Beispiel der Vereinigungsmenge: Die Aussage ist Teil der Definition der Menge. Die Menge ist die Menge aller x, für die die Aussage gilt. Aussage und Menge sind verschiedene Objekte.

Nicht jede Menge kann durch eine Aussage definiert werden.
Nicht jede Aussage kann durch eine Menge definiert werden (genau das ist der Anfang Deines Problems, denn Du hast versucht, eine Aussage über R durch eine Mengendefinition zu ersetzen).

10.09.2015, 15:27

Ungelehrter

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Nun gut, dann gilt es nur noch eine Frage zu klären. :-)

Wenn für meine Relation $\begin{eqnarray*} R := \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\} \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} (a, b) \in R \Rightarrow ((c,d) \in R \Rightarrow a \neq d) \end{eqnarray*}$ gilt. Welche der folgenden Mengen entsprechen dann $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} S = \{(1,2), (2, 3)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T = \{(1,1), (2, 2)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U = \{(1,2), (3, 4)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S \neq R \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} \exists(a, b) \in S: (c, d) \in R \Rightarrow (a = d) \end{eqnarray*}$ , nämlich wenn $\begin{eqnarray*} a = 2, b =3, c = 1, d = 2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} T \neq R \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} \exists(a, b) \in S: (c, d) \in R \Rightarrow (a = d) \end{eqnarray*}$ , nämlich wenn $\begin{eqnarray*} a = 1, b =1, c = 1, d = 1 \end{eqnarray*}$ .

Es bleibt nur $\begin{eqnarray*} U = R \end{eqnarray*}$ .

*) Die Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ seien hier jetzt nicht beschrieben. Wir nehmen einfach mal an, dass die Werte in den Tupeln auch in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ vorkommen.

10.09.2015, 16:52

Elvis

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Das geht so nicht. Du musst $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ definieren, bevor Du $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ definieren kannst.
Für $\begin{eqnarray*} A=B=\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} R:=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}=A\times B \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} R\ne U \end{eqnarray*}$ , und die gewünschte Eigenschft gilt zwar für $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , aber nicht für $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .
Auch für $\begin{eqnarray*} A=\{1,3\},B=\{2,4\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} R:=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}=A\times B \end{eqnarray*}$ .

Das lässt sich auch nicht retten, wenn Du definieren würdest $\begin{eqnarray*} R:=\{(a,b)|a\in A,b\in B, (a,b)\in R\Rightarrow ((c,d)\in R\Rightarrow a\ne d)\} \end{eqnarray*}$ , denn dieses obskure Ding $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ wäre niemals wohldefiniert, also keine Menge. Die erste Definition einer Menge kann sich nie auf die Menge selbst beziehen !

Anscheinend bringst Du immer noch Mengen und Aussagen durcheinander. unglücklich

unglücklich

10.09.2015, 17:32

Ungelehrter

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Ich fürchte, das ergibt alles irgendwie keinen Sinn für mich ... unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Elvis
Die erste Definition einer Menge kann sich nie auf die Menge selbst beziehen !

Das habe ich schon kapiert, aber wie soll ich denn sonst mein gewünschtes $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ beschreiben? Die Tupel meiner Relation sollen Elemente aus zwei Mengen sein und es soll dafür die besprochene Bedingung gelten.

Für $\begin{eqnarray*} a, c \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b, d \in B \end{eqnarray*}$ soll es die Menge $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ geben, für die $\begin{eqnarray*} (a, b) \in R \Rightarrow ((c,d) \in R \Rightarrow a \neq d) \end{eqnarray*}$ gilt.
Das hier ist also eine Aussage über die Menge $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ? Reicht das also, damit wir wissen, worum es sich bei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ handelt? Definieren dürfen wir es ja wohl nicht mehr, da bereits eine Aussage über $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ getroffen wurde.

Wie soll man denn sonst beschreiben, welche Elemente in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sein dürfen und welche nicht?
Das ist doch der Sinn einer Menge. Also, dass sie bestimmte Elemente besitzt, auf die eine aufgestellte Eigenschaft zutrifft.

10.09.2015, 18:22

Elvis

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Du hast wieder das Problem der Unterscheidung zwischen einer Menge und vielen Mengen. Ist $\begin{eqnarray*} R\subset A\times B \end{eqnarray*}$ eine Relation mit einer gewünschten Eigenschaft, dann gibt es im allgemeinen viele solche Relationen und nicht nur eine. Wenn es viele Relationen gibt, so sind das viele Mengen. Viele Mengen kann man nicht als eine Menge definieren.

Zum Beispiel sind $\begin{eqnarray*} R_1:=\{(a,b)\}, R_2:=\{(c,d)\}, R_3:=\{(a,b),(a,d)\} \end{eqnarray*}$ "gewünschte" Relationen aus $\begin{eqnarray*} A\times B=\{a,c\}\times\{b,d\} \end{eqnarray*}$ , denn kein linkes Element eines Tupels ist einem rechten Element eines Tupels gleich.

mögliche Beschreibung : $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist eine Relation, für die das gilt.
unmögliche Beschreibung: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist die Menge, für die das gilt.

16.09.2015, 13:06

Ungelehrter

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Ich war jetzt länger nicht mehr anwesend. Ja, das mit einer Menge und vielen Mengen habe ich jetzt begriffen. Dazu hätte ich aber noch eine Frage.

Folgende Formel von dir:

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} R:=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}=A\times B \end{eqnarray*}$

Wieso ist nach dieser Definition $\begin{eqnarray*} R = A \times B \end{eqnarray*}$ ? Wir sagen mit $\begin{eqnarray*} R:=\{(a,b)|a\in A,b\in B\} \end{eqnarray*}$ doch nur aus, dass, wenn wir ein Element $\begin{eqnarray*} (a, b) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ haben, die beiden Werte $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ in den Mengen $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ zu finden sind. Es müsste also $\begin{eqnarray*} R:=\{(a,b)|a\in A,b\in B\} \subseteq A\times B \end{eqnarray*}$ lauten. Oder war das eine explizite Festlegung von dir?

Und wenn wir $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} R \subseteq A \times B \end{eqnarray*}$ beschreiben, dann ist das ja quasi auch eine Zusammenfassung mehrerer Relationen, oder?

Denn $\begin{eqnarray*} A \times B \end{eqnarray*}$ hat ja auch mehrere Teilmengen, nämlich $\begin{eqnarray*} 2^{|A \times B|} \end{eqnarray*}$ .

16.09.2015, 13:47

Elvis

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$\begin{eqnarray*} R:=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}=A\times B \end{eqnarray*}$
In Worten: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sei die Menge aller Paare $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist Element von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist Element von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ das cartesische Produkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Das ist eine eindeutig definierte Menge.

Bei dem anderen hast Du recht. $\begin{eqnarray*} R\subseteq A\times B \end{eqnarray*}$ heißt, dass $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \times B \end{eqnarray*}$ ist, als eine von allen möglichen Relationen.

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