Schnittpunkt Geraden mit f(x,y)

09.09.2015, 15:47	martinhaeberer	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt Geraden mit f(x,y) Hallo liebe Forumsgemeinde. Ich bräuchte einen Denkanstoß. Folgendes Problem: Ich habe ein Funktion (als Bsp. x²y²) $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^2y^2 \end{eqnarray}$ Da ich im 3D Raum arbeite, habe ich eine "Quasi-Ebene" in Form eines Vektors erstellt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Außerdem habe ich eine Geradengeleichung, die mir komplett bekannt ist: $\begin{eqnarray} G:\begin{pmatrix} STx \\ STy \\ STz \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} RIx \\ RIy \\ RIz \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie kann ich den oder die Durchstoßpunkte der Geraden durch die Quasiebene berechnen?* Reicht es, beides gleich zu setzen, -> 3 Gleichungen xyz, dann eine Seite 0 setzen und nach den Variablen x y und lambda aufzulösen? (habe ich probiert, bekommen aber keine brauchbare Lösung...) Grüße, Martin
09.09.2015, 16:17	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt Geraden mit f(x,y) Analog zur Ebenengleichung gilt doch $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^2y^2=z \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} z- x^2y^2=0 \end{eqnarray}$ Es sollte also wie bei einer gewöhnlichen Ebene funktionieren, dass Du die x-, y-, z-Komponenten der Geraden in diese Gleichung einsetzt und dann nur nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ auflösen mußt. Könnte durch die Nichtlinearität allerdings etwas unangenehm werden, da es bei gekrümmten Flächen ja mehrere Durchstoßpunkte geben kann. Gibt es da mal ein konkretes Beispiel mit Zahlen?
10.09.2015, 13:44	martinhaeberer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Klauss. Habe den Vorschlag einmal probiert und stimmige Ergebnisse heraus bekommen. Für alle andern hier mein Beispiel zum Nachverfolgen: Stützvektor ST $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zielpunkt bei $\begin{eqnarray} \left(-1,-0.5,1\right) \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich der Richtungsvektor RI $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ -2.5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Oberflächenbeschreibung : $\begin{eqnarray} f(x,y)=x²+y²=z \end{eqnarray}$ Einsetzen der 3 einzelnen Geradengleichungen x,y,z in die Formel für die Oberfläche, eine Seite 0 setzen und zusammenfassen, -> ergibt: $\begin{eqnarray} \frac{61\lambda^2-92\lambda+32}{4}=0 \end{eqnarray}$ Naja pq Formel lässt grüßen, so komme ich auf: $\begin{eqnarray} -\frac{2\sqrt{41}-46}{61} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{2\sqrt{41}+46}{61} \end{eqnarray}$ für lambda. Den Rest erledigt der Taschenrechner/Computer mit dem ausrechnen der beiden gesuchten Punkte: $\begin{eqnarray} P1 (0.367520416796674,0.639600347330561,0.544159861067775) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P2 (-0.892110580731100,-0.410092150609250,0.964036860243700) \end{eqnarray}$ Klar ist dann auch, wenn nur ein lambda Wert berechnet wird, dass dann ein tangetialer Punkt für die entsprechende Gerade gefunden wurde (Zielpunkt z.B. bei 0,0,0). Wenn in diesem Beispiel negative Wurzeln gefunden werden, gib es keine Schnittpunkte. Nun ja, meine finale Oberflächenbeschreibung wird wahrscheinlich in die Richtung $\begin{eqnarray} x^4+x^3+\sqrt{x}+...+IrgendwasMitY \end{eqnarray}$ gehen, was einzelnen Fallunterscheidungen etwas komplizierter machen wird Danke erst einmal. Martin

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