Beweis Vektor Basis

Neue Frage »

Haeusmeister Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Vektor Basis
Meine Frage:
In einer Hausaufgabe habe wir unteranderem diese Aufgabe aufbekommen:

Nehme an, dass eine Basis in formen und mit . Zeige das keine Basis in formen.



Meine Ideen:
Leider kann ich mit Beweisen immer nicht so viel anfangen.

Meine Überlegung ist, wenn eine Basis formen und ein neuer Vektor (y) hinzukommt, kann dieses Set von Vektoren logischerweise keine Basis bilden.
Wenn z.B. drei Vektoren eine Basis im R3 bilden und ein vierter dazu kommt, ist der vierte Vektor von der Basis linear abhängig.
Ist meine Überlegung korrekt und wie schreibe ich das mathematisch mit den ganzen Indizies auf?

Vielen Dank für eure Zeit und Hilfe.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn z.B. drei Vektoren eine Basis im R3 bilden und ein vierter dazu kommt, ist der vierte Vektor von der Basis linear abhängig.

Das ist es nicht, der Vektor wird ja heraus genommen.
Was muss denn eine Basis erfüllen?
Haeusmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Eigenschaften einer Basis:

1. Die Anzahl der Vektoren muss mit der Dimension des Vektorraumes übereinstimmen.
2. Die Vektoren in einer Basis sind linear unabhängig.

Ich muss also irgendwie beweisen, dass y mit linear abhängig ist oder? Wie mache ich das?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst zeigen, dass keine Basis in ist. Dann zeig doch, dass sie linear abhängig sind.
Du hast die Darstellung mit ...
Haeusmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich stehe ein bisschen aufm Schlauch. Die ganzen unterschiedlichen Indizies bringen mich immer voll durcheinander.

Linear abhängig bedeutet, dass ein Vektor als Linear Kombination von anderen Vektoren dargestellt werden kann. Dabei dürfen allerdings nicht alle Lamdas Null sein.

Wie zeige ich jetzt in diesem allgemeinen Beweis, dass y linear abhängig ist?

Vielen Dank für deine Geduld Freude
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, , sonst ist die Behauptung schon klar.

Dann sind nicht alle , also lässt sich als Linearkombination von -Vektoren darstellen, nämlich von . Was folgt?
 
 
Haeusmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist die Behauptung bei y=0 klar? Woher weißt du, dass bei y ungleich null nicht alle Lamdas Null sind?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Weil der Nullvektor sicher nicht teil einer Basis sein kann.
Zitat:
Woher weißt du, dass bei y ungleich null nicht alle Lamdas Null sind?

Weil nur beim Nullvektor alle Lambda sind.
Haeusmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Geduld, ich glaube, jetzt habe ich es raus Freude
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »