Partialsummenfolge und Grenzwert... Lineares Gleichungssystem?

09.09.2015, 16:11

Klausii

Partialsummenfolge und Grenzwert... Lineares Gleichungssystem?

Hallo!

Folgendes Beispiel lässt mich gerade nicht den Feierabend genießen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} \end{eqnarray*}$

Schritt für Schritt meine Überlegungen:

Die Partialsumme lässt sich so nicht schön bilden, also erstmal den Nenner ausmultiplizieren.
Ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} = \frac{2n+5}{n^2+5n+6} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+5}{n^2+5n+6} = \frac{A}{n²} + \frac{B}{5n} + \frac{C}{6} \end{eqnarray*}$

Ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} 2n+5 = A(5n+6) + B(n²+6) + C(n²+5n) \end{eqnarray*}$

Da die Summe für alle n ab 1 gelten muss, setze ich mal n = 1, damit mir das olle Teil wegfällt.

Das ergibt dann noch:

$\begin{eqnarray*} 2+5 = A(5+6) + B(1+6) + C(1+5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2+5 = 11A + 7B + 6C \end{eqnarray*}$

Gut und jetzt stehe ich völlig an.

Ich nehm an, man kann da mit linearer Algebra relativ fix ne Lösung herauskriegen, nur weiß ich absolut nicht mehr wie das geht. Herumraten ist dann auch nicht das gelbe vom Ei.

Danach müsste ich ja nur noch rück-einsetzen, die Teleskopsumme untersuchen und daraus den Grenzwert ableiten.

Mag ich jemand erleuchten (möglichst ohne hochtrabendes Vokabular, welches mir sicherlich fehlt)?

Klausii

09.09.2015, 17:43

Helferlein

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RE: Partialsummenfolge und Grenzwert... Lineares Gleichungssystem?
Du setzt völlig falsch an.

Zitat:

Original von Klausii
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+5}{n^2+5n+6} = \frac{A}{n²} + \frac{B}{5n} + \frac{C}{6} \end{eqnarray*}$

Der "einfachste" gemeinsame Nenner der rechten Seite ist $\begin{eqnarray*} 30n^2 \end{eqnarray*}$ und hat nichts mit $\begin{eqnarray*} n^2+5n+6 \end{eqnarray*}$ zu tun. Du rechnest ja hoffentlich auch nicht $\begin{eqnarray*} \frac 12 + \frac 13 = \frac 25 \end{eqnarray*}$
Bei einer korrekten Partialbruchzerlegung kommen die Faktoren des Nenners in die einzelnen Nenner, hier also

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} = \frac{A}{n+2} + \frac{B}{n+3} \end{eqnarray*}$

10.09.2015, 09:50

Klausii

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Vielen Dank, dennoch meine Frage:

Also kann man das gar nicht auf drei Brüche aufteilen?

10.09.2015, 09:52

Klausii

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Also, wenn ich ein Beispiel hätte:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+5}{n²+5n+6} \end{eqnarray*}$ , dann müsste ich quasi die binomische Formel anwenden?

Es muss ja auch mit drei Brüchen gehen, nur wirds dann komplexer, oder nicht?

10.09.2015, 10:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Klausii
Also kann man das gar nicht auf drei Brüche aufteilen?

Wieso willst du das auf drei Brüche aufteilen? Wie man das mittels Partialbruchzerlegung auf 2 Brüche aufteilen kann, hat Helferlein ja schon gesagt.

Frage am Rande: du mußt definitiv den Wert der Reihe bestimmen?

10.09.2015, 10:12

Klausii

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Hallo!

Ja, ich soll den Limes bestimmen, falls möglich.

Und meine Frage bezog sich mehr auf ein rein interessiertes "Ist es möglich?" (siehe mein zweites Beispiel)

Während einer Klausur gehe ich gerne auf Nummer sicher (speziell, da es die letzte in meinem Studium ist) und möchte da mehrere Lösungswege haben.

Außerdem denke ich gerne (wenn auch wenig erfolgreich) über mathematische Probleme nach smile

10.09.2015, 10:25

Leopold

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Zitat:

Original von Klausii
Ja, ich soll den Limes bestimmen, falls möglich.

Ja, das ist möglich. Jetzt bestimme erst einmal $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} B \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Helferlein
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} = \frac{A}{n+2} + \frac{B}{n+3} \end{eqnarray*}$

Dann schreibe dir einmal die Reihe mit ihren ersten Gliedern hin:

$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \ = \ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + \ldots \end{align*}$

Dann kannst du den Grenzwert ablesen. Da bleibt nämlich nicht mehr viel übrig. Für eine vollständige Lösung mußt du zuvor allerdings noch die Konvergenz begründen.

10.09.2015, 11:46

Klausii

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Danke, das ist ja trivial, daran scheitert es nie (hab schon genug von den Beispielen gelöst Augenzwinkern

)

Wenn dann scheitert es immer an irgendwelchen abstrusen Dingen wie erweitern mit "+1 -1" und so Schmarrn.

Aber der Vollständigkeit halber:

7 = 4A + 3B
A = 1
B = 1

Summe anschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\frac{1}{n+2}\frac{1}{n+3}) \end{eqnarray*}$

Daraus mal die Partialsumme anschreiben:

$\begin{eqnarray*} -1 (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + 1 (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - 1 (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + 1(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}) \end{eqnarray*}$

Wenn man die Klammern entfernt, dann sieht man (noch schöner), dass sich alles bis auf das erste und letzte Glied wegkürzt.

Wenn man nun den Limes bildet, kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to infty} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} = \lim_{n \to infty} -\frac{1}{3} + \frac{1}{n+3} = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

10.09.2015, 12:05

Leopold

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Ein paar Ungenauigkeiten noch ...

Zitat:

Original von Klausii
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\frac{1}{n+2} \color{red} + \color{black} \frac{1}{n+3}) \end{eqnarray*}$

Daraus mal die Partialsumme anschreiben:

$\begin{eqnarray*} -1 (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + 1 (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - 1 (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + 1(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}) \end{eqnarray*}$

Wenn man die Klammern entfernt, dann sieht man (noch schöner), dass sich alles bis auf das erste und letzte Glied wegkürzt.

Wenn man nun den Limes bildet, kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} \color{red} \lim_{n \to infty} \color{black} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} = \lim_{n \to infty} \color{red} \left( \color{black}-\frac{1}{3} + \frac{1}{n+3} \color{red} \right) \color{black} = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

10.09.2015, 13:42

Klausii

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Ja, wenn man den slash for infty vergisst, wird's halt kein $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und wenn man nicht registriert ist, dann kann mans leider nicht editieren.

Ansonsten, ja, Klammer gehört natürlich, sorry. Ich bin da etwas schlampig unglücklich

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