metrisch

09.09.2015, 21:40

Ronan

Cofinite Topologie: Abschluss/kompakt/metrisch

Kann mir jemand vielleicht sagen, ob meine Lösungen richtig sind? Das Thema Topologie ist mir noch ziemlich neu und ich bin mir bei vielem nicht ganz sicher....

Die Aufgabe:

T:= die cofinite Topologie

i) Bestimme alle abgeschlossenen Teilmengen und den Abschluss einer beliebigen Teilmenge von X

ii) Ist <X,T> kompakt?

iii) Für welche X ist T eine metrische Topologie, d.h. es gibt eine Metrik d, sodass T=T(d) ?

i) Falls X endlich ist, dann sind sowieso alle Teilmengen abgeschlossen. Die leere Menge ist abgeschlossen. A ist offen falls $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ endlich ist. Falls X endlich ist, sind alle $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ endlich und somit als Komplemente offener Mengen abgeschlossen.

Falls X unendlich ist: Die leere Menge ist abgeschlossen, X ist abgeschlossen, da $\begin{eqnarray*} X^c = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Abgeschlossen sind auch alle endlichen Mengen.

(kann man da noch mehr sagen?)

Der Abschluss einer beliebigen Teilmenge von X:

Falls X endlich ist:

$\begin{eqnarray*} \bar{A} = \cap \{ B \subseteq X: B \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, $\begin{eqnarray*} B \supseteq A \} = \cap \{B \subseteq X: B \supseteq A \} \end{eqnarray*}$

(Ich weiß nicht, ob das schon alles ist. Für den Fall, dass X nicht endlich ist, wollte ich zuerst schauen, ob ich die abgeschlossenen Mengen richtig bestimmt hatte)

ii)

<X,T> ist kompakt

X ist kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Falls X endlich ist: P(X) ist endlich $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ jede Überdeckung muss endlich sein

Falls X unendlich ist:

$\begin{eqnarray*} X \subseteq \cup_{i \in I} O_i, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O_i \in T \end{eqnarray*}$ gegeben, wähle $\begin{eqnarray*} i_0 \in I \end{eqnarray*}$ beliebig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall y \in Y \exists i_y \in I: y \in O_{i_y} \Rightarrow X \subseteq O_{i_0} \cup \cup_{y \in Y} O_{i_y} \end{eqnarray*}$

iii)

$\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ := die cofinite Topologie

Falls X endlich ist, so ist $\begin{eqnarray*} T_1 = T(d) \end{eqnarray*}$ , wobei d die diskrete Metrik ist. T(d) auf X ist P(X).

$\begin{eqnarray*} zz: \forall O \in P(X): O \in T_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X) = \emptyset ( \in T_1 ), X ( X^c = \emptyset \Rightarrow X \in T_1 ) , A: A \subseteq X \end{eqnarray*}$

Für alle $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} A^c = X \backslash A \end{eqnarray*}$ ist endlich, da X endlich ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \in T_1 \end{eqnarray*}$

Falls X unendlich ist, gibt es keine Metrik, von der X erzeugt wird.

X ist von einer Metrik erzeugt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ X ist hausdorffsch
also gilt auch X ist nicht hausdorffsch $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ X wird von keiner Metrik erzeugt

Also ist zu zeigen, dass X nicht hausdorffsch ist.

Angenommen, $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ disjunkte offene Mengen U, V, die x bzw. y enthalten

X\U ist endlich $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ V ist endlich

Dies würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} V= \emptyset \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} y \in V \end{eqnarray*}$ wäre.

10.09.2015, 12:06

10001000Nick1

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RE: Cofinite Topologie: Abschluss/kompakt/metrisch

Zitat:

Original von Ronan
i) Falls X unendlich ist: Die leere Menge ist abgeschlossen, X ist abgeschlossen, da $\begin{eqnarray*} X^c = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Abgeschlossen sind auch alle endlichen Mengen.
(kann man da noch mehr sagen?)

Ja, kann man: Alle unendlichen Mengen (außer X) sind nicht abgeschlossen (das wäre zu zeigen).

Zitat:

Original von Ronan
Der Abschluss einer beliebigen Teilmenge von X:
Falls X endlich ist:
$\begin{eqnarray*} \bar{A} = \cap \{ B \subseteq X: B \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, $\begin{eqnarray*} B \supseteq A \} = \cap \{B \subseteq X: B \supseteq A \} \end{eqnarray*}$

(Ich weiß nicht, ob das schon alles ist. Für den Fall, dass X nicht endlich ist, wollte ich zuerst schauen, ob ich die abgeschlossenen Mengen richtig bestimmt hatte)

Das kannst du noch weiter vereinfachen. Und ohne diese Überlegung, die du da aufgeschrieben hast: Der Abschluss einer abgeschlossenen Menge ist die Menge selbst. Wenn aber alle Mengen abgeschlossen sind, ...

Zitat:

Original von Ronan
ii)
Falls X unendlich ist:
$\begin{eqnarray*} X \subseteq \bigcup_{i \in I} O_i, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O_i \in T \end{eqnarray*}$ gegeben, wähle $\begin{eqnarray*} i_0 \in I \end{eqnarray*}$ beliebig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall y \in Y \exists i_y \in I: y \in O_{i_y} \Rightarrow X \subseteq O_{i_0} \cup \bigcup_{y \in Y} O_{i_y} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht. Was ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ? Und zu welchem Ergebnis bist du gekommen: Kompakt oder nicht?
Ein Hinweis: An manchen Stellen solltest du (allein schon wegen der besseren Lesbarkeit) \bigcup statt \cup verwenden. Ich habe das mal in dem Zitat geändert.

Teil iii) stimmt, nur hast du es dir hier etwas zu kompliziert gemacht:

Zitat:

Original von Ronan
$\begin{eqnarray*} zz: \forall O \in P(X): O \in T_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X) = \textcolor{red}{\{}\emptyset ( \in T_1 ), X ( X^c = \emptyset \Rightarrow X \in T_1 ) , A: A \subseteq X \textcolor{red}{\}=\{A\mid A\subseteq X\}} \end{eqnarray*}$

Für alle $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} A^c = X \backslash A \end{eqnarray*}$ ist endlich, da X endlich ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \in T_1 \end{eqnarray*}$

Was genau willst du denn zeigen? Du hast doch oben schon gesagt, dass im endlichen Fall alle Teilmengen von X offen sind, also ist $\begin{eqnarray*} T_1=P(X) \end{eqnarray*}$ . (außerdem ist deine Notation da etwas merkwürdig Augenzwinkern

)

24.09.2015, 12:30

Ronan

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Danke!!

Also:

Die abgeschlossenen Teilmengen, wenn X unendlich ist:

$\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , X und alle endlichen Mengen sind abgeschlossen

Sei C eine unendliche Teilmenge von X:

$\begin{eqnarray*} C^c \subseteq X, (C^c)^c = C \end{eqnarray*}$ ist unendlich $\begin{eqnarray*} \Rightarrow C^c \notin T \Rightarrow C^c \end{eqnarray*}$ ist nicht offen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ C ist nicht abgeschlossen

Der Abschluss einer beliebigen Teilmenge von X:

$\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$

falls X endlich ist:

alle Teilmengen von X sind abgeschlossen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \bar{A} = A \end{eqnarray*}$ (da A abgeschlossen ist enthält A alle Häufungspunkte)

falls X endlich ist und A endlich oder A=X:

$\begin{eqnarray*} \bar{A} = A \end{eqnarray*}$

sonst:

$\begin{eqnarray*} \bar{A} = \bigcap \{ B \subseteq X : B \end{eqnarray*}$ abg. , $\begin{eqnarray*} B \supseteq A \} \end{eqnarray*}$

Kompaktheit:

<X,T> ist kompakt

falls X endlich ist: hier wollte ich noch sicherstellen, dass man als endliche Teilüberdeckung immer einfach die Überdeckung selbst nehmen kann

falls X unendlich ist:

Ich glaube man könnte es auch einfach so machen:

Wähle ein beliebiges $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ aus der offenen Überdeckung und als endliche Teilüberdeckung $\begin{eqnarray*} U_i \cup \{O_x: x \in X \backslash U_i \} \end{eqnarray*}$ Diese Teilüberdeckung ist endlich, da $\begin{eqnarray*} X \backslash U_i \end{eqnarray*}$ als Komplement einer offenen Menge endlich ist.

Bei iii) habe ich wahscheinlich einfach zu viel geschrieben, ich wollte nur nochmals klarstellen, dass T=P(X), falls X endlich ist.

24.09.2015, 13:35

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Ronan
Der Abschluss einer beliebigen Teilmenge von X:
[...]
falls X endlich ist und A endlich oder A=X:

$\begin{eqnarray*} \bar{A} = A \end{eqnarray*}$

sonst:

$\begin{eqnarray*} \bar{A} = \bigcap \{ B \subseteq X : B \end{eqnarray*}$ abg. , $\begin{eqnarray*} B \supseteq A \} \end{eqnarray*}$

Da sollte wohl eher "falls X unendlich ist..." stehen, oder?

Das ist alles richtig, was da steht, aber es geht noch mehr: Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ unendlich, aber nicht ganz $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist, kann man den Abschluss von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch explizit angeben. Welche abgeschlossenen Mengen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gibt es denn, die $\begin{eqnarray*} B\supseteq A \end{eqnarray*}$ erfüllen? (die abgeschlossenen Mengen im unendlichen Fall hast du ja eben gerade bestimmt)

Zitat:

Original von Ronan
Kompaktheit:
[...]
falls X unendlich ist:

Ich glaube man könnte es auch einfach so machen:

Wähle ein beliebiges $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ aus der offenen Überdeckung und als endliche Teilüberdeckung $\begin{eqnarray*} U_i \cup \{O_x: x \in X \backslash U_i \} \end{eqnarray*}$ Diese Teilüberdeckung ist endlich, da $\begin{eqnarray*} X \backslash U_i \end{eqnarray*}$ als Komplement einer offenen Menge endlich ist.

Die Idee ist gut, wenn auch noch nicht sauber aufgeschrieben. Was sollen denn die $\begin{eqnarray*} O_x \end{eqnarray*}$ sein? In der Überdeckung waren doch nur Mengen $\begin{eqnarray*} O_i \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ aus einer Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ war. (Ich vermute, dass die $\begin{eqnarray*} O_x \end{eqnarray*}$ Umgebungen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein sollen, mit denen man $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ überdeckt hat).

Man könnte das so aufschreiben:

Es sei $\begin{eqnarray*} X=\bigcup _{i\in I} O_i \end{eqnarray*}$ mit offenen Mengen $\begin{eqnarray*} O_i \end{eqnarray*}$ .
Wähle ein beliebiges (aber im Folgenden festes) $\begin{eqnarray*} j\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} O_j\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und für jedes $\begin{eqnarray*} x\in X\setminus O_j \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} j_x\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in O_{j_x} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} X\setminus O_j \end{eqnarray*}$ ist endlich, also ist $\begin{eqnarray*} X=O_j\cup\bigcup_{x\in X\setminus O_j} O_{j_x} \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilüberdeckung.

25.09.2015, 14:49

Ronan

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Vielen Dank!!

Ja, sorry, ich hatte da "unendlich" gemeint.
Und wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, sollte der Abschluss X sein. Die einzigen abgeschlossenen Mengen sind nämlich X und die Mengen, die endlich sind, die endlichen Mengen können aber keine Obermenge einer unendlichen Menge sein, also bleibt nur noch X über.

25.09.2015, 15:02

10001000Nick1

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Genau.

25.09.2015, 15:46

Ronan

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Super, danke nochmals für deine Hilfe! smile

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