NxN Matrix die nur aus 1 besteht und Diagonalisierbarkeit

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Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »
NxN Matrix die nur aus 1 besteht und Diagonalisierbarkeit
Meine Frage:
Gegeben ist die nxn-Matrix A, deren Einträge nur 1 sind.
Die Fragen sind:
- wie kann man fast direkt sehen, dass A diagonalisierbar ist
-Bestimmung des Kerns und was ist wenn der Kern ungleich der Null ist
-grobe rationale kanonische Normalform angeben

Ich versuche mich an dieser Aufgabe zur Prüfungsvorbereitung und aus Interesse

Meine Ideen:
- mit dem direkt sehen hatte ich so meine Probleme, also hätte ich über das chpol argumentiert, welches in Linearfaktoren zerfällt und dann über die Dimensionen der Eigenräume, die hier relativ leicht zu bestimmen sind

- wenn der Kern nicht null ist, dann hat A nicht vollen Rang. Kann ich daraus auf Nicht-Diagonalisierbarkeit schließen?

-um die rationale kanonische NF anzugeben, fehlt mir das minpol. Welche Möglichkeit habe ich ansonsten?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist der Rang?
Wie groß ist damit der Kern und damit der Eigenraum zu 0?
Wie kann man an hand der Spur der Matrix den weiteren Eigenwert finden?
Warum ist die Matrix damit diagonalisierbar?

Zitat:
also hätte ich über das chpol argumentiert,

und wie berechnest du das?

Zitat:
wenn der Kern nicht null ist, dann hat A nicht vollen Rang. Kann ich daraus auf Nicht-Diagonalisierbarkeit schließen?
Nein, siehe z.B. die Matrix hier oder die Nullmatrix.

Zitat:
fehlt mir das minpol.

Das lässt sich leicht bestimmen, es reicht hier die Eigenwerte zu kennen.
 
 
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rang ist dann doch 1 und der Kern je nach der Größe von n (1,-1,0,..,0) , (1,0,-1,0,..,0) etc also dimKer(E(0))=n-1
Was schließe ich denn daraus, dass der Kern ungleich 0 ist?
Wie man mit der Spur die eigenwerte findet weiß ich nicht, aber die eigenwerte die ich über das chpol berechnet habe sind 0 und n.

Das chpol= det(x*E-A). Darüber bekomme ich das chpol= x^{n-1}*(x-n) , also zerfällt es in Linearfaktoren, als Voraussetzung zur Diagonalisierbarkeit.

Sie ist diagonalisierbar weil die Summe der dim der eigenräume n ist.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dimKer(E(0))=n-1

Richtig, wobei das deutlich sinnvoller ohne irgendeine Basis gefolgert wird: Nutze den Dimensionssatz.
Zitat:
Was schließe ich denn daraus, dass der Kern ungleich 0 ist?

Welche Dimension hat denn der Nullvektorraum?
Zitat:
Wie man mit der Spur die eigenwerte findet weiß ich nicht,

Spur = Summe aller Eigenwerte (mit Vielfachheit im alg. Abschluss)
Was ganz ähnliches gilt für die Determinante.


Zitat:
Darüber bekomme ich das

Und ich würde nach wie vor gerne genauer sehen wie du das machst.
Die Berechnung des"chpol's" auf deine Weise ist extrem aufwändig.
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nullvektorraum hat die leere Menge als Basis, also die Dimension 0.

Wir haben zur Berechnung des charakteristischen Polynoms nur diese Möglichkeit ( det(x*E-A)) und die in umgekehrt also det(A-x*E), die bis auf Vorzeichen stimmt, gehabt. Dann die Summe bilden mithilfe der Entwicklung nach einer Zeile/Spalte, (-1)^{n+m} * a * det A , mit Indizes nm.
Auf welche Weise bekäme ich das denn schneller heraus?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Nullvektorraum hat die leere Menge als Basis, also die Dimension 0.

Richtig, das sollte also deine Frage beantworten.

Zitat:
Wir haben zur Berechnung des charakteristischen Polynoms nur diese Möglichkeit ( det(x*E-A)) und die in umgekehrt also det(A-x*E), die bis auf Vorzeichen stimmt, gehabt. Dann die Summe bilden mithilfe der Entwicklung nach einer Zeile/Spalte, (-1)^{n+m} * a * det A , mit Indizes nm.

Also kurz gesagt: Per Laplce'schem Entwicklungssatz.
Das ist das Standardvorgehen, davon ging ich aus. Ich sehe nicht wie das nicht zu einer äufwändigen Rechnung führt. Hast du die Rechnung konkret durchgeführt?

Zitat:

Auf welche Weise bekäme ich das denn schneller heraus?

Möglichkeit 1: Gar nicht ausrechnen. Es ist für die Aufgabe unnötig.
Möglichkeit 2: Das Nehmen was ich hier bereits geschrieben hab: Es sind alle Eigenwerte mit Vielfachheiten bekannt, damit lässt sich das charakteristischen Polynoms hinschreiben.
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke schon mal!

Ich habe jetzt aber doch noch eine Frage:
was ist mit der rationalen kanonischen Normalform?
Muss ich dafür letztlich doch das minimalpolynom ausrechen oder inwieweit kann ich sie grob angeben?
Grob wüsste ich nur über das charakteristische Polynom und die verbindenden Einsen vorerst weglassen..
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Muss ich dafür letztlich doch das minimalpolynom ausrechen oder inwieweit kann ich sie grob angeben?

Das hab ich doch bereits in meinem ersten Post beantwortet
Zitat:
Das lässt sich leicht bestimmen, es reicht hier die Eigenwerte zu kennen.


Zitat:
Grob wüsste ich nur über das charakteristische Polynom

Direkt über die Definition.

Zitat:
verbindenden Einsen vorerst weglassen..

Was ist dass denn?
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habe mir jetzt mal das charakteristische Polynom und die möglichen Minimalpolynome bis n=4 angeguckt und herausgefunden, dass für das charakteristische Polynom x^{n-1} * (x-n) das Minimalpolynom dasselbe ist.
Also kann ich die rationale kanonische Normalform angeben. Stimmt das soweit?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass für das charakteristische Polynom x^{n-1} * (x-n) das Minimalpolynom dasselbe ist.

Nein. Deine Fälle n=3 und n=4 sind falsch.
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt ist die Matrix diagonalisierbar und dann kann ich doch ohnehin die rationale kanonische Normalform angeben indem die Eigenwerte auf der Hauotdiagonalen stehen, oder stimmt das auch nicht? Bzw. alleine weil ich hier weiß, dass A Diagonalisierbar ist?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber wenn

Zu was ist das ein aber? Was hat das mit meinem vorigen Post zu tun?
Sorry ich kann deinen Gedankensprüngen nicht mehr folgen.
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht mir jetzt ja nur noch um die rationale kanonische Normalform, und die ist bei einer diagonalmatrix doch jene mit dem eigenwerten auf der Hauotdiagonalen, also ist es doch egal, ob ich mich beim Minimalpolynom verrechnet habe oder nicht, weil ich die NF schon grob angeben kann, oder nicht?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und die ist bei einer diagonalmatrix doch jene mit dem eigenwerten auf der Hauotdiagonale
Und wie sieht der Rest der Matrix aus?

Zitat:
weil ich die NF schon grob angeben kann, oder nicht?
Keine Ahnung wie ihr das genau berechnet. Und wie selbst im Eingangspost sagtest kennst du nur die Möglichkeit über das Min.pol.

Bitte schreib etwas präziser und konkreter was du meinst.
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt nochmal gerechnet und das minimalpolynom scheint immer x*(x-n) zu sein. Also ergibt sich die rationale kanonische Normalform von A

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n \end{pmatrix}

Also sind alle Einträge 0 außer der Eintrag a_nn wo der eigenwert n steht.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
scheint immer x*(x-n) zu sein.

Die Vermutung ist richtig. Beweise sie.


Das ist eine 3x3-Matrix also n=3.
Die Begleimatrix von x(x-n) ist
und das sollte rechts unten stehen.
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank für die Hilfe!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vollständigkeit halber:
Was ist denn jetzt deiner Meinung nach die Frobeniusform?
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Da die anderen eigenwerte nur noch die 0 waren, demnach oben ein (n-2)x(n-2) Nullmatrix Block und unten der Block mit 00
1n Und der Rest 0 ?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schlußfolgerung ist richtig, die Begründung ist unzureichend.
Warum kommt den z.B. kein Block vor, das wär ja auch eine Möglichkeit zum Eigenwert 0.
Lilalaune123 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil im minimalpolynom nur x*(x-n) vorkommt, und so ein Block setzt ein x^2 im minimalpolynom als Faktor voraus ?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Freude
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