Äquivalenzrelation |x| <= |y| ja - nein - vielleicht

10.09.2015, 12:06

steviehawk

Äquivalenzrelation |x| <= |y| ja - nein - vielleicht

Meine Frage:
Hallo Leute,

In einem Protokoll habe ich folgendes gelesen:

Prüfer: Ist $\begin{eqnarray*} x \sim y : \Leftrightarrow |x| \leq |y| \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation?

Student: Nein! Ich habe dann erklären müsse, warum es keine ist.

Meine Ideen:
Nun habe ich das auch mal überlegt und bin die 3 Bedingungen durchgegangen. Würde da $\begin{eqnarray*} "<" \end{eqnarray*}$ also streng kleiner stehen, müsste man wirklich nichts machen, da die Symmetrie und Reflexivität sind sicherlich nicht gegeben ist. Aber wegen der Gleichheit war ich stutzig geworden.

1) Reflexivität: $\begin{eqnarray*} x \sim x \end{eqnarray*}$ das ist erfüllt, denn es gilt sicherlich $\begin{eqnarray*} |x| \leq |x| \end{eqnarray*}$ (Die Gleichheit rettet es)

2) Symmetrie: $\begin{eqnarray*} x \sim y \end{eqnarray*}$ dann muss auch $\begin{eqnarray*} y \sim x \end{eqnarray*}$ folgen. Also angenommen $\begin{eqnarray*} |x| \leq |y| \end{eqnarray*}$ dann folgt $\begin{eqnarray*} |y| \leq |x| \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} |x| = |y| \end{eqnarray*}$ ist. Das kann ja auch sein.

Hier bin ich aber schon der Meinung, dass es eigentlich keine Äquivalenzrelation mehr sein kann. Denn ich muss ja immer aus $\begin{eqnarray*} |x| \leq|y| \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} |y| \leq |x| \end{eqnarray*}$ folgern. Aber es kann ja der Fall eintreten, dass $\begin{eqnarray*} |x| \leq |y| \end{eqnarray*}$ gerade erfüllt ist, weil $\begin{eqnarray*} |x| < |y| \end{eqnarray*}$ gilt. In diesem Fall kann ich nicht $\begin{eqnarray*} |y| \leq |x| \end{eqnarray*}$ folgern.

Demnach kann es also keine Äquivalenzrelation sein.

Stimmt die Argumentation?

10.09.2015, 12:13

Elvis

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1. Eine Relation muss immer auf einer Menge M definiert sein.
2. Bei den Definitionen einer Relation ist stets auf die Quantoren zu achten. (Symmetrie muss für alle x,y aus M gelten.)

10.09.2015, 12:17

steviehawk

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Okay, demnach kann es tatsächlich keine Sein smile

Danke

10.09.2015, 12:28

steviehawk

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Noch 2 Fragen.

Darf ich für die Menge auf der die Relation definiert wird auch die leere Menge zulassen? Falls ja, dann ist ja jede Relation eine Äquivalenzrelation.

Und zum Beispiel von oben. Wenn ich eine Einpunktmenge $\begin{eqnarray*} \{ a \} \end{eqnarray*}$ zu Grunde lege; für $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann ist es doch eine Äquivalenzrelation oder?

10.09.2015, 12:45

Iorek

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Zitat:

Original von Elvis
Bei den Definitionen einer Relation ist stets auf die Quantoren zu achten. (Symmetrie muss für alle x,y aus M gelten.)

Meinst du hier nicht eher für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R\subseteq M\times M \end{eqnarray*}$ ? smile

10.09.2015, 12:46

Elvis

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@ steviehawk
Ja und ja.
Übrigens muss die Relation nicht nur auf einer Menge definiert sein. Sie muss insbesondere definiert sein.

@Iorek
Nein. Eine Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ zerlegt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in disjunkte Klassen, jedes $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ ist zu sich selbst äquivalent, für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x=y\Rightarrow y=x \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} x,y,z \in M \end{eqnarray*}$ gilt Transitivität.
Naja, vielleicht doch. Zwei der drei Regeln sind nur unter Voraussetzungen gültig. Das schränkt nichts ein, ist also egal, wie man es sehen möchte.

10.09.2015, 13:27

Iorek

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Na, ich finde die Formulierung nur etwas komisch. Symmetrie für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ könnte man auch so verstehen, dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} x\sim y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\sim x \end{eqnarray*}$ gilt. Daher die Anmerkung. smile

10.09.2015, 13:30

Elvis

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So habe ich das gelernt, kurz nachdem Äquivalenzrelationen erfunden wurden. Augenzwinkern

Natürlich muss nicht $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ sein für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ , sonst wären Äquivalenzrelationen ziemlich langweilig.

Nachtrag: Jetzt habe ich Deinen Punkt verstanden. Ja, wie immer ist die menschliche Sprache schwächer als die mathematische Sprache. Wink

Nachtrag: Für die Quantifizierung über $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ statt über $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ spricht, dass man die Reflexivität einer Äquivalenzrelation über $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ quantifizieren muss.

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