Darf man den Grenzwert so bestimmen?

10.09.2015, 12:36	Tania65	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf man den Grenzwert so bestimmen? Gesucht ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^{n^2} \end{eqnarray}$ . Meine Idee wäre einfach $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^{n^2} = ( \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^{n} )^2 = e^2 \end{eqnarray}$ Darf man das so lösen oder habe ich irgendwas übersehen?
10.09.2015, 12:42	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nein, das darf man nicht, denn die Umformung $\begin{eqnarray} (1+\frac 1n)^{n^2} = ((1+\frac 1n)^n)^2 \end{eqnarray}$ ist falsch, denke mal an die Potenzgesetze, wie würde sich die rechte Seite nach diesen umformen lassen?
10.09.2015, 12:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Was die eigentliche Fragestellung angeht, möchte ich auf die Bernoullische Ungleichung hinweisen.
10.09.2015, 14:14	Tania65	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ok, war dann wohl ein Blödsinn. Mit der Bernoullischen Ungleichung wärs dann $\begin{eqnarray} (1+ \frac{1}{n} )^{n^2} \ge 1+ \frac{n^2}{n} = 1+n \end{eqnarray}$ , also ist es divergent.
10.09.2015, 14:22	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, richtig. man hätte deinen Weg auch benutzen können, wenn du ihn richtig ausführst. Damit hätte man $\begin{eqnarray} (1+\frac 1n)^{n^2} = ((1+\frac 1n)^n)^n \geq 2^n \end{eqnarray}$ erhalten. Darauf wollte ich hinaus, aber der andere Weg funktioniert natürlich ebenso und ist zudem noch etwas elementarer.
10.09.2015, 14:51	Tania65	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
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