Stetig differenzierbar?

10.09.2015, 14:26

Lucy524

Stetig differenzierbar?

Ich soll herausfinden, ob $\begin{eqnarray*} 2+ \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist.

Die Ableitung habe ich schon berechnet:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{cos(x)x-sin(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)x-sin(x)}{x^2} = 0 \end{eqnarray*}$ (wenn man L´Hospital anwendet)

Meine Schlussfolgerung wäre, dass f'(x) nicht stetig ist, da die Ableitung bei 0 nicht definiert ist, aber eine stetige Fortsetzung besitzt. Ist das richtig?

10.09.2015, 14:32

steviehawk

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RE: Stetig differenzierbar?
Hallo Lucy524,

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 + \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ ist doch in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ nicht einmal definiert.

Ich nehme an es geht um die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x) = 2 + \frac{sin(x)}{x} ; f(0) = 3 \end{eqnarray*}$ ?

Nun ist zuerst zu klären, ob $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ überall stetig ist. Ist das der Fall?

10.09.2015, 14:50

Lucy524

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Hab nochmal auf die Angabe geschaut, dort steht $\begin{eqnarray*} f(x) = 2+ \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}. \end{eqnarray*}$ Bei 0 ist es also überhaupt nicht definiert.

Danke, ich hatte übersehen, dass es bei 0 sowieso nicht definiert ist. Also wäre dann die Ableitung stetig, da wir sowieso auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ sind?

10.09.2015, 15:01

steviehawk

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Du hast ja die Ableitung schon korrekt bestimmt:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\cos(x)x - \sin(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ ist das eine Zusammensetzung aus stetigen Funktionen. Also stetig.

Der interessante Punkt wäre aber gerade $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Durch $\begin{eqnarray*} f(0) : = 3 \end{eqnarray*}$ lässt sich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzen, da hier der Rechts - und Linksseitige Grenzwert übereinstimmen.

Nun könnte man untersuchen, ob auch für die Ableitung, die ja offensichtlich wegen dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner in 0 nicht definiert ist, auch hier die Grenzwerte (Rechts - Linksseitig) der Ableitung übereinstimmen. Ist das der Fall ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = ...; \ f(0):= 3 \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar.

10.09.2015, 15:11

Lucy524

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Ah, ok, verstehe!

Also:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2+ \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \ne 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3, x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{cos(x)x-sin(x)}{x^2} , x \ne 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0, x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)x-sin(x)}{x^2} = 0 = f'(0) \end{eqnarray*}$

10.09.2015, 15:49

steviehawk

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Also hier gilt tatsächlich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} f'(x) = \lim_{x \to 0-} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

du darfst aber nicht einfach den Punkt $\begin{eqnarray*} f(x_0) = f(0) = 3 \end{eqnarray*}$ aus der Definition nehmen und ableiten um dann auf $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Es reicht zu zeigen, dass dann Links - und Rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen. Der Wert den die Ableitung annimmt ist dann gerade dieser Grenzwert (da sie übereinstimmen, gibt es auch nur einen).

Zum veranschaulichen folgendes Beispiel, auch wenn es etwas konstruiert ist, funktioniert es:

Sei $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \setminus \{ 1 \} \to \mathbb R \ x \mapsto f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

Wir nehmen jetzt einfach mal die 1 aus dem Def.bereich raus. Verbietet uns ja keiner. In $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion also nicht mehr definiert. Jetzt wollen wir aber das sie da definiert ist. Wir betrachten also den Rechts - und Linksseitigen Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ und sehen es kommt beides mal 1 raus. Also definieren wir $\begin{eqnarray*} g(1) := 1 \end{eqnarray*}$ . Wir haben nun die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig fortgesetzt.

Jetzt schauen wir mal was passiert, wenn man das differenziert.

$\begin{eqnarray*} g'(x) = 2x \end{eqnarray*}$

den Punkt $\begin{eqnarray*} g(1) : = 1 \end{eqnarray*}$ darf ich aber nicht einfach ableiten. (Da würde aber wenn man es fälschlicherweise machen würde Null raus kommen - das hast du ja selbst bemerkt)

Wir schauen nun, was mit unserem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ passiert ist.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1+} g'(x) = 2 = \lim_{x \to 1-} \end{eqnarray*}$ . Die Grenzwerte stimmen also überein. Wir haben also demnach: $\begin{eqnarray*} g'(1) = 2 \end{eqnarray*}$ . Insbesondere nicht Null, wie man durch das fälschliche ableiten des Punktes bekommen hätte.

Gruß Stevie

10.09.2015, 16:11

10001000Nick1

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@steviehawk: Als ich deine letzte Antwort gelesen habe, ist mir eine Frage eingefallen, die ich mir vor einiger Zeit gestellt habe (damals ohne Ergebnis):

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sei stetig und in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus\{x_0\} \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Außerdem existieren die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow x_0} f'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow x_0} f'(x) \end{eqnarray*}$ und es gelte $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow x_0} f'(x)=\lim_{x\nearrow x_0} f'(x) \end{eqnarray*}$ . Kann man dann daraus schließen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ dort stetig ist (denn das ist ja das, was du in deinem Beispiel benutzt)?

Ich würde sagen, dass man das so machen kann; aber hast du eine Begründung dafür (letztendlich ist das ja ein Vertauschen von Grenzwertprozessen)?

10.09.2015, 16:24

Leopold

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$\begin{align*} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = f' \left( x_0 + \vartheta h \right) \, , \ \ \vartheta \in (0,1) \end{align*}$

10.09.2015, 16:32

IfindU

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@Leopold
Die Rate $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ wird doch im Allgemeinen von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ abhängen.

10.09.2015, 16:34

steviehawk

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Hallo 10001000Nick1

also 100% sicher bin ich mir jetzt auch nicht.

Eine reelle Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn der Links - und Rechtsseitige Grenzwert übereinstimmt. Wenn also, wie du gefordert hast:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0+} f'(x) = \lim_{x \to x_0-} f'(x) \end{eqnarray*}$ (im Falle dass beide existieren)

dann muss doch $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ stetig sein in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Es bleibt jetzt die Frage, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Für die Differenzierbarkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist die Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Voraussetzung. Das hatte ich in meinem Beispiel ja auch.

Jetzt kann es vielleicht vorkommen, dass zwar für die Ableitung gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0+} f'(x) = \lim_{x \to x_0-} f'(x) \end{eqnarray*}$

aber nicht für die eigentliche Abbildung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0+} f(x) = \lim_{x \to x_0-} f(x) \end{eqnarray*}$

Wenn man zum Beispiel eine Ursprungsgerade betrachtet, die bei $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ eine Sprung macht um 1 und dann normal weiter läuft und man für $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} f(x_0) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ setzt, dann sieht man folgendes:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x & x \in (-\infty,0] \\ 1/2 & x = 0 \\ x+1 & x \in (0, \infty) \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist die Funktion ja nicht stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ , da der Links - und Rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmt. Wenn ich aber die Ableitung betrachte.

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \begin{cases} 1 & x \in (-\infty,0) \\ 1 & x \in (0, \infty) \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

hier stimmt nun der Linksseitige und der Rechtsseitige Grenzwert überein. Also würde man vermuten, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar war. Aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ war da ja nicht einmal stetig.

mehr fällt mir spontan nicht ein. Gruß Stevie

10.09.2015, 16:48

10001000Nick1

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@IfindU: Aber solange das $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ beschränkt bleibt (und das tut es wegen $\begin{eqnarray*} \vartheta\in(0,1) \end{eqnarray*}$ ), stört das doch nicht, oder?

@steviehawk: So ähnlich waren auch meine Überlegungen. Das hier

Zitat:

Original von steviehawk
Wenn also, wie du gefordert hast:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0+} f'(x) = \lim_{x \to x_0-} f'(x) \end{eqnarray*}$ (im Falle dass beide existieren)

dann muss doch $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ stetig sein in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

würde ich aber nicht so stehen lassen. Um über Stetigkeit in einem Punkt reden zu können, muss $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ dort erstmal definiert sein und der Funktionswert an dieser Stelle gleich den beiden genannten Grenzwerten sein. Die Existenz war ja aber noch gar nicht klar.

Aber ich denke, mit Leopolds Antwort hat sich das erledigt. Kurz und elegant. Augenzwinkern

Danke!

10.09.2015, 18:30

IfindU

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
@IfindU: Aber solange das $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ beschränkt bleibt (und das tut es wegen $\begin{eqnarray*} \vartheta\in(0,1) \end{eqnarray*}$ ), stört das doch nicht, oder?

Stört hier nicht, aber man sollte sich dessen dennoch bewusst sein, insbesondere wenn man die suggestive Schreibweise wie $\begin{eqnarray*} \vartheta h \end{eqnarray*}$ benutzt.

11.09.2015, 15:32

Lucy524

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Ahh, ok. Also darf man einzelne Punkte nicht einfach so ableiten und die Funktion ist an diesen Punkten genau dann differenzierbar, falls der links- und der rechsseitige Grenzwert der Ableitung in diesen Punkten übereinstimmen?

12.09.2015, 16:49

steviehawk

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Zitat:

@steviehawk: So ähnlich waren auch meine Überlegungen. Das hier

Zitat:

hiermit wurde ich ja darauf aufmerksam gemacht, dass das noch nicht reicht. Die Funktion muss in diesem Punkt ja auch definiert sein. Falls sie dort stetig war, eventuell durch eine stetige Fortsetzung, dann kannst du einfach den Grenzwert als Ableitungswert ansehen/definieren.

13.09.2015, 12:14

Lucy524

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Ok, danke! smile

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