Minimale Oberfläche eines Kegels

10.09.2015, 18:10

Kat1664

Minimale Oberfläche eines Kegels

Meine Frage:
" Ein Kegel hat den Radius r und die Höhe h. Sein festes Volumen ist V. Wie müssen r ung h gewaählt werde, damit die Oberfläche eines Kegels minimal wird?
Hilfen: $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} \pi r^2h \\ M=\pi rs \\ G=\pi r^2 \end{eqnarray*}$ \\
s bezeichnet die Strecke von den Kegelspitze bis zum Boden.\\
Mein Problem besteht darin, dass ich mir der Nebenbedinung unsicher bin und dass mir eine Formel fehlt, mit der ich eine Variabel "ersetzen" kann.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Hauptbedingung: O(r,s) = \pi rs+\pi r^2 \\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Nebenbedingung: V=\frac{1}{3} \pi r^2h ; s^2=r^2+h^2 \\ h^2+r^2=s^2 \Rightarrow s=\sqrt{r^2+h^2} \\ \end{eqnarray*}$ einfügen in M: $\begin{eqnarray*} M= \pi r\times \sqrt{h^2+r^2} \\V=G\times H \Rightarrow G=\frac{V}{h} \\<br /> O=H+M \Rightarrow O=(\frac{V}{h} )+M \\<br /> (\frac{1}{3} \frac{r^2h}{h} )+\pi rs \\= \frac{1}{3} \pi r^2+\pi rs \\= \frac{1}{3} \pi r^2+\pi r\times (\pi r\times \sqrt{h^2+r^2} )\\=\frac{1}{3} \pi r^2+\pi ^2r^2\times (\sqrt{h^2+r^2} ) \end{eqnarray*}$

10.09.2015, 22:57

Bjoern1982

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Zitat:

Sein festes Volumen ist V

Ich glaube dieser Bemerkung hast du noch nicht genügend Aufmerksamkeit geschenkt.
Das bedeutet nämlich nichts anderes, als dass du V bequem als konstant ansehen kannst.
V kann also ruhig in deiner Zielfunktion als Konstante auftauchen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Hauptbedingung: O(r,s) = \pi rs+\pi r^2 \\ \end{eqnarray*}$

Wir haben hier eine Funktion, die von r und s abhängt.
Mit den beiden Nebenbedingungen, kann man sich jetzt die Frage stellen, ob man lieber Terme für r oder für s einsetzen will.
Wenn man die Wahl hat, sollte man sich hier vielleicht eher dafür entscheiden, etwas für s einzusetzen (denn r kommt ja mehrmals vor).
Eine Möglichkeit wäre es die Volumenformel nach h umzustellen, um das dann in s²=r²+h² für h einzusetzen, wodurch man s nur noch mit konstantem V durch r ausdrücken kann.

11.09.2015, 00:24

mYthos

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Ganz klar ist alles nach r umzustellen, also s in der Hauptbedingung entsprechend zu ersetzen.
Wegen des Pythagoras bzw. der Wurzel gelangt man schnell zu 6. Potenzen (von r), nach dem Quadrieren sogar zur 12. Potenz.
Man soll sich aber davon nicht schrecken lassen, denn die Auflösung der Null gesetzten Ableitung geht dennoch gut.

Die Nebenbedingung sollte zu $\begin{eqnarray*} \frac{3V}{\pi} = r^2h \end{eqnarray*}$ umgeformt werden, der linke Term wird vorteilhaft gleich c gesetzt, weil er konstant ist.

Somit gilt $\begin{eqnarray*} r^2h = c, \ \text{somit } h = \frac c {r^2} \end{eqnarray*}$ , die Ansatzfunktion ist dann

$\begin{eqnarray*} O(r) = r^2 + \frac {\sqrt{r^6 + c^2}} r \end{eqnarray*}$
Die weitere Rechnung sei gerne dir überlassen, es sollte dann $\begin{eqnarray*} r^3 = \frac{c \sqrt 2} 4 \end{eqnarray*}$ resultieren, daraus folgt dann auch h. Für c ist letztendlich noch rückzusubstituieren.
----------
Ein anderer Rechenweg ist die Einführung des halben Öffnungswinkel des Kegels als Variable x
Das versucht man immer dann, wenn sich wegen der Wurzeln elend lange und komplizierte Rechenwürste ergeben.

Mit $\begin{eqnarray*} r = s \cdot \sin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h = s \cdot \cos x \end{eqnarray*}$ gehen wir in die Nebenbedingung (V) und die Hauptbedingung (O) ein.

Bei dieser Methode kann $\begin{eqnarray*} \frac {3V} {\pi} = c \end{eqnarray*}$ in der Zielfunktion als konstanter Faktor weggelassen werden.
Dabei ergibt sich als Lösung die besonders interessante Beziehung $\begin{eqnarray*} \sin x = \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} s = 3r \end{eqnarray*}$

Beide Wege erzeilen natürlich die gleichen Resultate, vielleicht sind sie dir ohnehin bekannt.

mY+

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