Inhalte auf P(N), die nicht sigmaadditiv sind

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Nofeys Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL:

Hast du vielleicht ein Beispiel für einen endlichen Inhalt auf , der kein Maß ist? Mir fallen spontan nur solche für -Algebren ein, die nicht der ganzen Potenzmenge entsprechen oder falls die Grundmenge nicht abzählbar ist.


Auf Wunsch abgetrennt von diesem Thema. (Guppi12)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Berechtigte Frage: Für einen Inhalt auf einer Algebra über gibt es natürlich das bekannte Beispiel



aber da enthält die Algebra ja nur die Teilmengen von , die selbst oder deren Komplement endlich sind. Das greift also nicht, wenn die Algebra gleich der Potenzmenge entspricht.


Ein Beweis, dass in diesem Spezialfall abzählbar (o.B.d.A. ), Sigma-Algebra gleich Potenzmenge die endliche Additivität auch die Sigma-Additivität nach sich zieht, fällt mir jetzt allerdings auch nicht sofort ein. Wenn du also eine passende Idee dazu hast, dann raus damit. Augenzwinkern
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Original von Nofeys
Hast du vielleicht ein Beispiel für einen endlichen Inhalt auf , der kein Maß ist?


Sei der Vektorraum der reellen beschränkten Folgen, der Unterraum der abbrechenden Folgen und . Schließlich .

Wir definieren ein Funktional auf vermöge und . Dann ist ein positives lineares Funktional auf und nach dem Riesz extension theorem existiert eine positive lineare Fortsetzung von auf . Setze jetzt für . Dann ist ein Inhalt mit den gewünschten Eigenschaften.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Feine Lösung! Aber irgendwie fehlt mir ein wenig die Vorstellung, wie das Ding konkret aussieht. Augenzwinkern


Ich selbst hatte basierend auf dem Beispiel in meinem Beitrag oben noch folgende Idee:

Statt der Algebra aller Teilmengen, die selbst oder deren Komplement endlich sind, konnte ich das Mengensystem zu



erweitern und dort dann eben definieren. Ich überblicke es jetzt nicht so ganz, aber ich könnte mir vorstellen, dass einer laut deinem Beweis existenten Inhalte, eingeschränkt auf eben jene Form hat. verwirrt

Leider ist natürlich weit von entfernt, weshalb diese Idee nicht als Lösung taugt - ich wollte nur was "anschauliches" haben. Augenzwinkern
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal,

bin im Moment mit Handy unterwegs und habe nicht die Möglichkeit, mir deinen Post in Ruhe anzusehen. Werde das sobald wie möglich nachholen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So wertvoll ist er nicht, nur ein wenig Heuristik ... lass dir Zeit. Augenzwinkern
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch eine schöne Idee und ich teile deine Einschätzung, dass wahrscheinlich einer der obigen Inhalte auf genau so aussieht, denn die dahintersteckende Idee ist ja die selbe. Man möchte etwas in der Art von einer Dichte einer Menge in den natürlichen Zahlen und dein Vorschlag ist dort ja der natürlichste, den man sich vorstellen kann.

Zitat:
Aber irgendwie fehlt mir ein wenig die Vorstellung, wie das Ding konkret aussieht.

Ja, das ist irgendwie schade. Aber vielleicht fällt uns ja noch etwas konstruierbares ein.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Frage hatte ich mich auch einmal beschäftigt; in dem Zusammenhang, dass der Raum der endlich additiven beschränkten (signierten) Maße auf ist. Die sogar -additiven Maße bilden (Radon-Nikodým).

Ich wollte dann ein Element von finden, welches nicht in ist, habe dann aber erfahren, dass man kein solches konstruieren kann.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, gut zu wissen, dann brauchen wir ja nicht weiter nach etwas konstruierbarem suchen.
Schön, dich mal wieder hier zu sehen Augenzwinkern
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