Umkehrfunktion bilden und zeichnen

10.09.2015, 20:45

nullnull

Umkehrfunktion bilden und zeichnen

Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor.
Mit dem Thema Umkehrfunktion habe ich mich noch gar nicht beschäftigt.

Folgende Aufgabe ist gegeben
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{4}* (x^2-4(x-1))-2 \end{eqnarray*}$

im Intervall c=<x=<8

a)Ich soll den Wertebereich bestimmen für c , wofür eine Umkehrfunktion existiert.
b) Ich soll dies gemeinsam Zeichnen in der x-y-Ebene

Ich weiss, dass ich bei einer Umkehrfunktion darauf achten muss, ob eine Wurzel vorliegt oder ein x-therm im Nenner.

Wie verhält es sich allerdings bei dieser Art von Aufgabe?
Muss ich zuerst alles ausmultiplizieren?
Vorallem was ist mit dem Intervall gemeint?
Ich würde diese Aufgabe gerne, mit Tipps und Anregungen von euch, Schritt für Schritt durchgehen wollen.

Danke

10.09.2015, 21:49

mYthos

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Du musst die Funktionsgleichung nach x auflösen.
Multipliziere zunächst mit 4
Schreibe dazu

$\begin{eqnarray*} 4y = x^2 - 4x + 4 - 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4(y + 2) = (x - 2)^2 \end{eqnarray*}$

Hast du verstanden, was da bis hier abgegangen ist und wie geht es jetzt weiter?

mY+

10.09.2015, 21:56

nullnull

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Müsste in der ersten Zeile nicht
$\begin{eqnarray*} 4y=x^2-4x+4-2 \end{eqnarray*}$
stehen?

Falls ja, kann ich es nachvollziehen.
Falls nein, wie kommt das y+2 auf der linken Seite zustande?

Danach.
Das x muss ja alleine stehen.
Das heißt, ich müsste die Wurzel Ziehen auf beiden Seiten, um die Potenz wegzubekommen.
Dann die -2 nach links.

Also $\begin{eqnarray*} \sqrt{4(y+2)}+2 = x \end{eqnarray*}$
Danach Variablentausch:
Also $\begin{eqnarray*} \sqrt{4(x+2)}+2 = y \end{eqnarray*}$

11.09.2015, 00:54

mYthos

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Zitat:

Original von nullnull
Müsste in der ersten Zeile nicht
$\begin{eqnarray*} 4y=x^2-4x+4-2 \end{eqnarray*}$
stehen?
...

Laut deiner Angabe: Nein!
Denn die 2 steht ausserhalb der Klammer und nur diese Klammer ist an den Faktor 1/4 gebunden.
Bei der Multiplikation mit 4 entsteht also rechts 8, die wir zu den 4y nach links bringen.

Zitat:

Original von nullnull
...
Das x muss ja alleine stehen.
Das heißt, ich müsste die Wurzel Ziehen auf beiden Seiten, um die Potenz wegzubekommen.
...

Genau so ist es, deswegen wurde ja vorbereitet: $\begin{eqnarray*} x^2 - 4x + 4 \end{eqnarray*}$ ist ein vollständiges Quadrat, nämlich von $\begin{eqnarray*} (x - 2) ... \end{eqnarray*}$
Links solltest du die 4 aus der Wurzel holen, das wird dann zu 2.

Anmerkung: Die Auflösung nach der Wurzel bringt zwei Ergebnisse (mit verschiedenen Vorzeichen der Wurzel), somit entstehen 2 getrennte (!) Umkehrfunktionen.
Zusammen stellen diese KEINE Funktion dar (denke an die Definition der Zuordnung bei einer Funktion!), getrennt jedoch ist jede für sich wohl eine Funktion.
Überlege dir auch die Definitions- und Wertemenge der Funktion samt ihren Umkehrungen.

mY+

11.09.2015, 16:55

nullnull

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Also, meinst du es so ?

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{(y+2))}=x \end{eqnarray*}$

Wird zu:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{(x+2))}=y \end{eqnarray*}$

Defintionsbereich ist Df= $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (aufgrund der ganzrationalen Funktion)?

Wertebereich ist doch der Defintionsbereich der Umkehrfunktion, oder?
Allerdings darf x ja nicht negativ werden, was ja hier der Fall wäre
x+2

Oder liege ich falsch?

11.09.2015, 22:57

mYthos

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Zitat:

Original von nullnull
Also, meinst du es so ?

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{(y+2))}=x \end{eqnarray*}$
...

Nicht ganz, denn du hast noch die 2 vergessen.
Nach dem Variablentausch ist letztendlich

$\begin{eqnarray*} y = 2 \sqrt{x+2} + 2 \end{eqnarray*}$

Und selbstverständlich ist für den Definitionsbereich der Umkehrfunktion der Wertebereich der Funktion maßgebend.

Zitat:

Original von nullnull
...
Allerdings darf x ja nicht negativ werden, was ja hier der Fall wäre
...

Auch das stimmt nicht ganz, setze doch mal x = -1 ein, die Wurzel ist auch dort definiert.
Genauer gesagt, muss x größer oder gleich -2 sein.

Grün:
Eine Umkehrfunktion.
Du kannst auch noch eine zweite Umkehrfunktion ermitteln, wie ich schon angemerkt habe.

mY+

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