Grenzwert der Folge ... Fakultät durch n-te Potenz

11.09.2015, 11:29

Klausii

Grenzwert der Folge ... Fakultät durch n-te Potenz

Folgende Folge sei gegeben:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert sei zu bestimmen. Intuitiv würde ich meinen, dass es sich um eine Nullfolge handelt, da der Nenner schneller wächst als der Zähler.

Allerdings finde ich hier keinen schönen Weg das zu zeigen. Ich kann auch nicht wirklich etwas vorweisen, was ich diesbezüglich gerechnet habe, da alles Humbug ist.

Ich hab beispielsweise versucht mit $\begin{eqnarray*} n! = n*(n-1)! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^n = n*(n^{n-1}) \end{eqnarray*}$ zu arbeiten, aber das verschiebt mir das Problem ja nur um eine Stelle/einen Index.

Das rekursiv bis zur Unendlichkeit durchzuführen stelle ich mir doch wenig erheiternd vor *g*

Bitte schickt mich auf erleuchtetere Pfade!

11.09.2015, 11:32

bijektion

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Nutze z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n}=\prod_{k=1}^n \frac{k}{n} \end{eqnarray*}$ smile

11.09.2015, 11:41

Klausii

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Danke, aber irgendwie ergibt´s noch immer keinen Sinn für mich bzw. ich bin nicht sicher ob ich´s verstanden hab:

Wenn ich mir die "Folgen"glieder ansehe, wären das:

(Wie sagt man dazu? Ne Reihe ist doch immer nur ne Summe?)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}*\frac{2}{n}*\frac{3}{n}*...*\frac{n}{n} \end{eqnarray*}$

Für große n gehen die ersten (n-1)-Faktoren also gegen 0 und am Ende hätten wir dann mal 1 gerechnet?

Also kurzum: 0 * irgendwas = 0?!

11.09.2015, 11:57

Matt Eagle

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Man sieht doch sofort (zumindes nach Bijektions Darstellung) dass

$\begin{eqnarray*} 0\leq\frac{n!}{n^n}\leq \frac 1n\longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$

und kann mit dem Einschließungskriterium argumentieren.

11.09.2015, 13:16

bijektion

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Zitat:

(Wie sagt man dazu? Ne Reihe ist doch immer nur ne Summe?)

Wie kommst du jetzt auf eine Reihe? Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Folgenglied sieht so, wie von dir dargestellt aus.
Matt Eagle hat ja bereits erläutert wie man das Ergebnis erhält.

11.09.2015, 13:59

Klausii

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

(Wie sagt man dazu? Ne Reihe ist doch immer nur ne Summe?)

Wie kommst du jetzt auf eine Reihe? Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Folgenglied sieht so, wie von dir dargestellt aus.
Matt Eagle hat ja bereits erläutert wie man das Ergebnis erhält.

Ne Reihe ist doch ne Summe von einer Folge, also die Folgenglieder aufsummiert. Hier werden die einzelnen Glieder (von k bis n) multipliziert

11.09.2015, 14:13

bijektion

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Nein werden sie nicht...

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