Konvergenzradius

11.09.2015, 20:03

Light98

Konvergenzradius

Zu bestimmen ist der Konvergenzradius folgender Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} (1+ \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} ) *z^n \end{eqnarray*}$

Ich habe das Wurzelkriterium versucht:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z^n * (1+ \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} ) } = z* \sqrt[n]{ (1+ \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} ) } \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich nicht weiter...kann ich irgendwie $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ (1+ \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} ) } \end{eqnarray*}$ berechnen? Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x} = 1 \end{eqnarray*}$ , aber das kann man hier nicht wirklich anwenden, da das n in der Wurzel ist...

11.09.2015, 20:26

10001000Nick1

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Light98
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z^n * (1+ \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} ) } = z* \sqrt[n]{ (1+ \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} ) } \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gehört da nicht hin.

Zitat:

Original von Light98
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x} = 1 \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl eher $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$ . Und nach einer kleinen Abschätzung kannst du das hier verwenden: $\begin{eqnarray*} 1\leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\leq n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

11.09.2015, 20:40

Light98

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Super, jetzt funktioniert es! Danke! smile

11.09.2015, 20:44

10001000Nick1

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Mit dem Quotientenkriterium geht es übrigens genauso schnell:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+\frac 1 2+\cdots+\frac 1 n}{1+\frac 1 2+\cdots+\frac{1}{n+1}}=1-\frac{\frac{1}{n+1}}{1+\frac 1 2+\cdots+\frac{1}{n+1}}\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$
Wink

11.09.2015, 23:02

Light98

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Danke!

09.10.2015, 22:42

Light98

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Noch eine Frage...warum gehört das z nicht in die Wurzel?

09.10.2015, 22:45

10001000Nick1

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Guck dir doch mal die Formel zur Berechnung bzw. die Definition des Konvergenzradius einer Potenzreihe an.
Es würde doch überhaupt keinen Sinn machen, wenn da das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ drin vorkommt.

09.10.2015, 22:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Light98
warum gehört das z nicht in die Wurzel?

Irgendwie schon ein Klassiker, diese Verwechslung: Umformung

10.10.2015, 22:18

Light98

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Ich habe mir deine Erklärung durchgelesen, Hal. Danke, jetzt verstehe ich, wo mein Fehler war.

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