Kurze Zusammenfassung Vektoranalysis

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AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Zusammenfassung Vektoranalysis
Hallo Forenuser,
Ich wollte in diesem Thread einen kurzen Überblick zu den wichtigen Punkten der Vektoranalysis (Gradient, Divergenz und Rotation von Vektorfeldern) in Formel nieder schreiben. Darauf hin habe ich eine Frage zur Rotation.

1.) Gradient (Richtungsableitung)



2.) Divergenz



3.) Rotation



Unter dem Gradienten kann man die (stärkste) Ableitung der Richtung eines Vektors verstehen. Skalare werden in Vektoren umgewandelt.
Unter der Divergenz werden Vektoren in Skalare umgewandelt. Die Divergenz gibt skalare "Quellen" von Vektoren, die aus einer bestimmten Richtung kommen, an.
Noch habe ich aber keine Idee, was ich unter der Rotation eines Vektorfeldes verstehen soll. Wozu dient die Rotation ? Was kann ich damit berechnen ?

Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Erklärung der Rotation:
Stelle dir einen dicken Drahtes mit der Querschnittfläche A vor, durch den ein elektrischer Strom I fließt. Dabei darf die Stromdichte unregelmäßig auf der Querschnittsfläche A verteilt sein. Bekanntlich bildet sich in der Nähe des Drahtes ein Magnetfeld . Denkt man sich um den Draht eine geschlossene Kurve, so ergibt folgendes Kurvenintegral den Gesamtstrom, der durch die geschlossene Kurve fließt:



Das ist ein physikalisches Gesetz, was primär nichts mit Mathematik zu tun hat. Die mittlere Stromdichte im Draht ist folglich der Quotient j=Strom/Qerschnittfläche




Diese durchschnittliche Stromdichte liefert noch keine Information über die Verteilung der Stromdichte im Draht. Will man die exakte Stromdichte an einer bestimmten Stelle wissen, legt man um diese Stelle eine "kleine" geschlossene Kurve und bildet das gleiche Integral wie oben. Dann macht man die Fläche immer kleiner und erhält beim Grenzübergang die Stromdichte an der gewünschten Stelle



Dieser Skalar gibt zwar die mittlere Stromdichte am Punkt an (als Zahl). Aber man hat noch keine Information über die Richtung der Stromdichte an diesem Punkt. Um auch die Stromrichtung zu bekommen, betrachten wir auf der kleinen Fläche A den Normaleneinheitssvektor . Damit kann man den obigen skalaren Grenzwert j als Skalarprodukt darstellen, also



Dabei ist der neue Vektor die vektorielle Stromdichte am Punkt . Durch eine einfache aber langwierige Rechnung kann man zeigen, dass diese vektorielle Stromdichte gerade die Rotation des Magnetfeldes ist, also



In dem Buch "Höhere Mathematik" von G.E.Joos und R.Richter wird dieser Grenzübergang sehr verständlich hergeleitet. Dieses Buch hat schon über 30 Auflagen erlebt und ist sehr zu empfehlen für Praktiker, die der mathematischen Ballast oft verwirrt.
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