Poisson Approximation

12.09.2015, 17:33	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson Approximation Meine Frage: Hallo Leute, In meiner Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie haben wir unter anderem die Poisson Approximation kennen gelernt. Hier heißt es: Falls $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} p_n = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}(np_n) = \lambda \in (0, \infty) \end{eqnarray}$ gilt, so folgt für alle $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}Bin_{n, p_n}(k) = Pois_{\lambda}(k) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe mir schon ein paar Aufgaben dazu angeschaut. Mir ist dabei eigentlich auch stets klar wie man vorgeht. Nur verwirrt mich jetzt etwas ein bisschen. Wenn ich eine Binomialverteilung betrachte, dann ist ja das $\begin{eqnarray} p \in [0,1] \end{eqnarray}$ fest. Jetzt verstehe ich nicht, wie ich hier einen Grenzwertprozess für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ betrachten soll. Die einzige Erklärung, die ich jetzt habe ist die folgende: Wir betrachten nicht $\begin{eqnarray} \ \underline{\text{eine}} \end{eqnarray}$ sonder mehrere Binomialverteilungen. Also zum Beispiel: $\begin{eqnarray} Bin_{n, p_n}(k) = \binom nk p_n^k(1-p_n)^{n-k} \end{eqnarray}$ dabei sei $\begin{eqnarray} p_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Nun gilt ja tatsächlich: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} p_n = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}(p_n \cdot n) = 1 =: \lambda \end{eqnarray}$ sobald dann ca. $\begin{eqnarray} p_n < 0.05 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n > 50 \end{eqnarray}$ ist, kann ich die Approximation sinnvoll anwenden. Das macht Sinn für mich. Also stelle ich mir bei einer Aufgabe, wo ich eben "eine" Binomialverteilung habe, die ich dann approximiere, vor, dass ich im Grunde wie eine Art Folge von diesen Verteilungen hätte und da dann $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ klein genug ist und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ groß genug ist, kann ich es verwenden. Verstehe ich das so richtig?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »