Abzählbare Basis, R^n

12.09.2015, 19:18

StrunzMagi

Abzählbare Basis, R^n

Wir betrachten $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}^n, O_n) \end{eqnarray*}$
Zeige, dass die offenen $\begin{eqnarray*} 1/k \end{eqnarray*}$ Kugeln $\begin{eqnarray*} B_{1/k} (x) \end{eqnarray*}$ mit rationalen Mittelpunktkoordinaten (d.h. $\begin{eqnarray*} x=(x_1,..,x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i \in \mathbb{Q} \forall 1\le i \le n \end{eqnarray*}$ ) eine Basis bilden.

Hallo,
1)Wir schauen uns also $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit der Topologie:
$\begin{eqnarray*} O_n:=\{O \subseteq \mathbb{R}^n| \forall x \in O \exists B_{\epsilon} (x) \subseteq O \} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} O \in O_n \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} p \in O: \exists \epsilon>0: p \in B_{\epsilon} (p) \subseteq O \end{eqnarray*}$
Es $\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb{N}: \frac{1}{k} < \epsilon \Rightarrow p \in B_{\frac{1}{k}} (p) \subseteq B_{\epsilon} (p) \subseteq O \end{eqnarray*}$
Nach Defnition von einer Basis ist $\begin{eqnarray*} \{ B_{1/k} (x) | x \in \mathbb{R}^n \} \end{eqnarray*}$ eine Basis vom $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}^n, O_n) \end{eqnarray*}$

2)Nun habe ich Probleme mit den rationalen Mittelpunkten.

Ein Spezialfall:
Sei $\begin{eqnarray*} O \in O_n \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} x=(x_1,..,x_n) \in O \end{eqnarray*}$
Ang. $\begin{eqnarray*} \exists i_0 \in \{1,...,n\}: x_{i_0} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und sonst alle $\begin{eqnarray*} x_i \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
Nach Definition der Basis $\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb{N} : x \in B_{1/k} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$
Nach der Dichtheit: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists q_{i_0} \in \mathbb{Q} : |x_{i_0}-q_{i_0}|<\epsilon \end{eqnarray*}$
Insbesondere für $\begin{eqnarray*} \epsilon:= \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$
Definiere $\begin{eqnarray*} q=(x_1,..,x_{i-1}, q_{i_o}, x_{i+1},..,x_n) \end{eqnarray*}$ so ist
1) $\begin{eqnarray*} x \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \end{eqnarray*}$
Bew.: $\begin{eqnarray*} d(x,q)= \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-q_i)^2}= \sqrt{(x_{i_0} - q_{i_0})^2}=|x_{i_0} - q_{i_0}| < \epsilon := \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{2k}} (q) \subseteq B_{1/k} (x) \end{eqnarray*}$
Bew.: Sei $\begin{eqnarray*} y \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} d(y,x)\le d(y,q) + d(q,x) < 2 \frac{1}{2k}= \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Aus 1) und 2 ) folgt $\begin{eqnarray*} x \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \subseteq B_{1/k} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$
Also besagte Menge ind der Angabe eine Basis für diesen Spezialfall.

Das allgemein durchgeführt:
Sei also wieder $\begin{eqnarray*} O \in O_n \end{eqnarray*}$ eine bel. offene Menge und $\begin{eqnarray*} x=(x_1,.,,x_n) \in O \end{eqnarray*}$ . Nach Definition der Basis $\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb{N}: x\in B_{1/k} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$
Teile $\begin{eqnarray*} \{1,..,n\} \end{eqnarray*}$ in zwei Mengen: $\begin{eqnarray*} K \cup J \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} K:=\{ i \in \{1,..,n\}: x_i \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J:=\{ i \in \{1,..,n\}: x_i \in \mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$
Wegen der Dichtheit folgt: $\begin{eqnarray*} \forall i \in K: \forall \epsilon_i >0 \exists p_i \in \mathbb{Q}: |x_i-p_i|< \epsilon_i \end{eqnarray*}$
Insbesondere für $\begin{eqnarray*} \epsilon_i := \frac{1}{\sqrt{2*|K|*k}} \forall i \in K \end{eqnarray*}$
Definiere $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{Q}^n : \begin{cases} q_i=x_i, & \mbox{für } i \in J \\ q_i=p_i, & \mbox{für } i \in K \end{cases} \end{eqnarray*}$
1) $\begin{eqnarray*} x \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \end{eqnarray*}$
Bew.: $\begin{eqnarray*} d(x,q) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-q_i)^2}= \sqrt{\sum_{i \in K} (x_i- q_i)^2} \le \sum_{i \in K} (x_i- p_i)^2\le |K|*( \frac{1}{\sqrt{2 |K| k}})^2= \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{2k}}(q) \subseteq B_{1/k} (x) \end{eqnarray*}$
Bew.: Sei $\begin{eqnarray*} y \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} d(y,x) \le d(y,q) + d(q,x) \le 2* \frac{1}{2k}= 1/k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \subseteq B_{1/k} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$
Nach Defnition von einer Basis ist $\begin{eqnarray*} \{ B_{1/k} (x) | x \in \mathbb{Q}^n \} \end{eqnarray*}$ eine Basis vom $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}^n, O_n) \end{eqnarray*}$

Fragen:
Stimmt mein Weg?
Geht doch bestimmt um einiges einfacher wie ich mich kenne..!?

LG,
MaGi

13.09.2015, 12:48

RavenOnJ

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RE: Abzählbare Basis, R^n
Ich habe deinen Aufschrieb nicht gelesen, da er mir viel zu kompliziert erscheint.

Zuerst mal würde ich zeigen, dass es zu jedem $\begin{align*} B_\epsilon(x) \end{align*}$ ein $\begin{align*} B_{1/k}(x'),x'\in \mathbb Q^n \end{align*}$ gibt, sodass $\begin{align*} x \in B_{1/k}(x')\subseteq B_\epsilon(x) \end{align*}$ . Sei $\begin{align*} \mathbf B:=\{B_{1/k}(x)\;|\;k\in \mathbb N_{>0},x\in \mathbb Q^n\} \end{align*}$ das System der offenen $\begin{align*} 1/ k \end{align*}$ -Kugeln mit rationalen Mittelpunktskoordinaten. (Sie sind offen, da sie zu zu $\begin{align*} O_n \end{align*}$ gehören. Was man wohl noch zeigen müsste.). Picke nun ein $\begin{align*} O\in O_n \end{align*}$ raus und bilde

$\begin{align*} O\supseteq O':=\bigcup_i B_i, B_i\in \mathbf B, B_i\subseteq O \end{align*}$
$\begin{align*} O' \end{align*}$ ist also die Vereinigung aller 1/k-Kugeln, die vollständig in $\begin{align*} O \end{align*}$ enthalten sind. Zeige nun, dass die Annahme, $\begin{align*} O' \end{align*}$ sei echte Teilmenge von $\begin{align*} O \end{align*}$ , auf einen Widerspruch führt. Damit hättest du dann gezeigt, dass $\begin{align*} \mathbf B \end{align*}$ eine Basis ist.

14.09.2015, 08:51

StrunzMagi

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RE: Abzählbare Basis, R^n
Hallo Raven,
Danke für deine Antwort.

Zitat:

Original von RavenOnJ
Ich habe deinen Aufschrieb nicht gelesen, da er mir viel zu kompliziert erscheint.

Zuerst mal würde ich zeigen, dass es zu jedem $\begin{align*} B_\epsilon(x) \end{align*}$ ein $\begin{align*} B_{1/k}(x'),x'\in \mathbb Q^n \end{align*}$ gibt, sodass $\begin{align*} x \in B_{1/k}(x')\subseteq B_\epsilon(x) \end{align*}$ .

Aber das habe ich genau im ersten Post gezeigt..
Dein $\begin{eqnarray*} x'= q \end{eqnarray*}$ in meiner Aufzeichnung:

Sei $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ gegeben für ein $\begin{eqnarray*} x=(x_1,..,x_n) \in \mathbb{R}^n, \epsilon>0 \end{eqnarray*}$
So $\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb{N}: \frac{1}{k} < \epsilon \Rightarrow B_{1/k} (x) \subseteq B_{\epsilon} (x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Teile $\begin{eqnarray*} \{1,..,n\} \end{eqnarray*}$ in zwei Mengen: $\begin{eqnarray*} K \cup J \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} K:=\{ i \in \{1,..,n\}: x_i \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J:=\{ i \in \{1,..,n\}: x_i \in \mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$
Wegen der Dichtheit folgt: $\begin{eqnarray*} \forall i \in K: \forall \epsilon_i >0 \exists p_i \in \mathbb{Q}: |x_i-p_i|< \epsilon_i \end{eqnarray*}$
Insbesondere für $\begin{eqnarray*} \epsilon_i := \frac{1}{\sqrt{2*|K|*k}} \forall i \in K \end{eqnarray*}$
Definiere $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{Q}^n : \begin{cases} q_i=x_i, & \mbox{für } i \in J \\ q_i=p_i, & \mbox{für } i \in K \end{cases} \end{eqnarray*}$
1) $\begin{eqnarray*} x \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \end{eqnarray*}$
Bew.: $\begin{eqnarray*} d(x,q) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-q_i)^2}= \sqrt{\sum_{i \in K} (x_i- q_i)^2} \le \sum_{i \in K} (x_i- p_i)^2\le |K|*( \frac{1}{\sqrt{2 |K| k}})^2= \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{2k}}(q) \subseteq B_{1/k} (x) \end{eqnarray*}$
Bew.: Sei $\begin{eqnarray*} y \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} d(y,x) \le d(y,q) + d(q,x) \le 2* \frac{1}{2k}= 1/k \end{eqnarray*}$

Vlt. hilft dir meine Erklärung:
Ich teile die Indizes 1 bis n, in diejenigen die einen irrationale Zahl haben und diejenige die eine rationale Zahl haben. Um $\begin{eqnarray*} q=(q_1,..q_n) \end{eqnarray*}$ zu erhalten tausche ich die irrationalen Zahlen durch "sehr nahe" rationale Zahlen aus und zeige, dass dann $\begin{eqnarray*} x \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \subseteq B_{1/k} (x) \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von RavenOnJ
Picke nun ein $\begin{align*} O\in O_n \end{align*}$ raus und bilde

$\begin{align*} O\supseteq O':=\bigcup_i B_i, B_i\in \mathbf B, B_i\subseteq O \end{align*}$
$\begin{align*} O' \end{align*}$ ist also die Vereinigung aller 1/k-Kugeln, die vollständig in $\begin{align*} O \end{align*}$ enthalten sind. Zeige nun, dass die Annahme, $\begin{align*} O' \end{align*}$ sei echte Teilmenge von $\begin{align*} O \end{align*}$ , auf einen Widerspruch führt. Damit hättest du dann gezeigt, dass $\begin{align*} \mathbf B \end{align*}$ eine Basis ist.

Für was machst du dir noch die Arbeit?

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \subseteq O_n \end{eqnarray*}$ so gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ Basis für $\begin{eqnarray*} O_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \iff \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall O \in O_n \forall x \in O \exists B_x \in \mathcal{B}: x \in B_x \subseteq O \end{eqnarray*}$

Also sei $\begin{eqnarray*} O \in O_n \end{eqnarray*}$ eine bel. offene Menge und $\begin{eqnarray*} x=(x_1,.,,x_n) \in O \end{eqnarray*}$ . So $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon>0 : x \in B_{\epsilon} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$ .
Nach oben gezeigten $\begin{eqnarray*} \exists k\in \mathbb{N},\exists q \in \mathbb{Q}^n : x \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \subseteq B_{1/k} (x) \subseteq B_{\epsilon} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$

14.09.2015, 09:02

steviehawk

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RE: Abzählbare Basis, R^n
Hallo zusammen:

Zitat:

Original von StrunMagi

Zitat:

Das folgt übrigens direkt aus dem Prinzip von Archimedes:

"Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n>1/\epsilon \end{eqnarray*}$ und daher umgekehrt $\begin{eqnarray*} 1/n<\epsilon \end{eqnarray*}$ . In der Analysis ist dieser Zusammenhang nützlich, um beispielsweise die Konvergenz oder Divergenz von Folgen nachzuweisen."

Gruß Stevie

14.09.2015, 11:55

RavenOnJ

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RE: Abzählbare Basis, R^n

Zitat:

Original von StrunzMagi

Zitat:

Original von RavenOnJ
...
Zuerst mal würde ich zeigen, dass es zu jedem $\begin{align*} B_\epsilon(x) \end{align*}$ ein $\begin{align*} B_{1/k}(x'),x'\in \mathbb Q^n \end{align*}$ gibt, sodass $\begin{align*} x \in B_{1/k}(x')\subseteq B_\epsilon(x) \end{align*}$ .

Zitat:

Und hier hatte ich eingehakt: Dies ist viel zu kompliziert. Es geht ganz einfach.
$\begin{align*} \small\text{Für genügend kleine $\epsilon<\epsilon_0$ gilt:}\forall \epsilon_0>\epsilon>0\;\exists k\in\mathbb N: \epsilon/4 < 1/k <\epsilon/2\text{ und }\forall x\in\mathbb R^n\,\exists x'\in\mathbb Q^n:d(x,x')<\epsilon/4\Rightarrow x\in B_{1/k}(x')\subseteq B_\epsilon(x) \end{align*}$

Praktisch ein Einzeiler, ohne das ganze Brimborium.

Zitat:

Für was machst du dir noch die Arbeit?

Das frage ich mich allerdings gerade auch! Danke! Sarkasmus off. Falls du meintest, es ginge auch ohne Widerspruchsbeweis, dann hast du recht (s.u. nächster Post).

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \subseteq O_n \end{eqnarray*}$ so gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ Basis für $\begin{eqnarray*} O_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \iff \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall O \in O_n \forall x \in O \exists B_x \in \mathcal{B}: x \in B_x \subseteq O \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt essentiell die Defintion einer Basis der Topologie $\begin{align*} O_n \end{align*}$ .

Zitat:

Also sei $\begin{eqnarray*} O \in O_n \end{eqnarray*}$ eine bel. offene Menge und $\begin{eqnarray*} x=(x_1,.,,x_n) \in O \end{eqnarray*}$ . So $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon>0 : x \in B_{\epsilon} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$ .

Nach oben gezeigten $\begin{eqnarray*} \exists k\in \mathbb{N},\exists q \in \mathbb{Q}^n : x \in B_{\frac{1}{2k}} (q) \subseteq B_{1/k} (x) \subseteq B_{\epsilon} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$

Nun, wie gesagt, es geht bedeutend einfacher. Im nächsten Post schreibe ich meine Version.

14.09.2015, 11:57

RavenOnJ

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RE: Abzählbare Basis, R^n
Für genügend kleine $\begin{align*} \epsilon<\epsilon_0 \end{align*}$ gilt:
$\begin{align*} \small\forall \epsilon_0>\epsilon>0\;\exists k\in\mathbb N: \epsilon/4 < 1/k <\epsilon/2\text{ und }\forall x\in\mathbb R^n\,\exists x'\in\mathbb Q^n:d(x,x')<\epsilon/4\Rightarrow x\in B_{1/k}(x')\subset B_\epsilon(x) \end{align*}$

Sei nun $\begin{align*} \mathcal B:=\{B_{1/k}(x')\in O_n|k\in \mathbb N,x'\in\mathbb Q^n\} \end{align*}$ . Dann gibt es zu jedem $\begin{align*} x\in O\in O_n \end{align*}$ ein $\begin{align*} B_\epsilon(x)\subset O \end{align*}$ , sowie $\begin{align*} \exists k\in\mathbb N,x'\in\mathbb Q^n: x\in B_{1/k}(x')\subset B_\epsilon(x)\subset O \end{align*}$ . $\begin{align*} \mathcal B \end{align*}$ ist also eine Basis der Topologie $\begin{align*} O_n \end{align*}$ .

OK, kein Beweis durch Widerspruch, da es so schneller geht.

14.09.2015, 22:03

StrunzMagi

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Hallo,
Danke für deine Antwort.
Ich wollte dir mit der Frage "Für was machst du dir noch die Arbeit?" nicht auf den Schlips treten. Entschuldingung, wenn das durch Internet undankbar klang.

Genau, den letzten Teil, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ eine Basis ist hast du ja dann im Prinzip genauso wie ich gemacht.

Zitat:

Original von RavenOnJ
Für genügend kleine $\begin{align*} \epsilon<\epsilon_0 \end{align*}$ gilt:
$\begin{align*} \small\forall \epsilon_0>\epsilon>0\;\exists k\in\mathbb N: \epsilon/4 < 1/k <\epsilon/2\text{ und }\forall x\in\mathbb R^n\,\exists x'\in\mathbb Q^n:d(x,x')<\epsilon/4\Rightarrow x\in B_{1/k}(x')\subset B_\epsilon(x) \end{align*}$

Das bereitet mir noch etwas Nachholbedarf.
Kann es sein, dass du $\begin{eqnarray*} \epsilon, \epsilon_0 \end{eqnarray*}$ durcheinander bringst(denn das $\begin{eqnarray*} \epsilon_0 \end{eqnarray*}$ kommat gar nicht mehr vor) oder verstehe ich das nur nicht?
Für was brauchst du das $\begin{eqnarray*} \epsilon_0 \end{eqnarray*}$ überhaupt?

Ich hätte das so geschrieben in deiner Form:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 ,x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest.
$\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb{N}: 1/k < \epsilon/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}^n \exists x' \in \mathbb{Q}^n: d(x,x')<1/k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in B_{1/k} (x') \subseteq B_{\epsilon} (x) \end{eqnarray*}$
Wobei das letzte Teilmengenzeichen aus der Dreiecksungleichung für Metriken resultiert.

14.09.2015, 22:43

RavenOnJ

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Zitat:

Original von StrunzMagi

Ich hätte das so geschrieben in deiner Form:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 ,x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest.
$\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb{N}: 1/k < \epsilon/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}^n \exists x' \in \mathbb{Q}^n: d(x,x')<1/k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in B_{1/k} (x') \subseteq B_{\epsilon} (x) \end{eqnarray*}$
Wobei das letzte Teilmengenzeichen aus der Dreiecksungleichung für Metriken resultiert.

Das ist der wesentliche Teil des Beweises. Du hast recht, das mit dem $\begin{align*} \epsilon_0 \end{align*}$ war unnötig, da war ich etwas desorientiert.

15.09.2015, 08:27

StrunzMagi

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Dann bedanke ich mich nochmal!
Liebe Grüße,
MaGi

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