Erwartungswert

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Aths Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert
Man nimmt ohne Zurücklegen aus einem Becher mit 10 1€-Stücken, 5 2€ Stücken und 2 10 Cent-Stücken 2 Stücke. Wie hoch ist der Erwartungswert?

Bei dem ersten sind es 10/17*1+5/17*2+2/17*0,10
Und wie ist es dann bei dem zweiten?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Wert der zweiten gezogenen Münze ist genau dieselbe wie für den Wert der ersten gezogenen Münze. Vermutlich unterliegst du (wie viele) dem Irrtum, dass diese aufgrund der ersten gezogenen Münze anders sein müsse - das trifft jedoch nur auf dessen bedingte Verteilung zu, d.h. unter der Bedingung, dass die erste Münze einen konkreten Wert hatte. Es trifft aber NICHT auf die hier relevante absolute Verteilung dieses Münzwertes zu, die ist immer gleich, egal ob man 1,2,...,17 Münzen zieht.

Und letztlich ist der Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrößen additiv, auch dann wenn die Zufallsgrößen selbst (wie hier) abhängig sind.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

?
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

2*1,18647= 2,37294
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt bezweifle ich, dass du einfach 2 mal den Wert für den ersten Zug nehmen darfst. Ich bin durch folgende Überlegung auf meinen Wert gekommen.

Sei die Zufallsvariable, die den Wert nach zweimaligem ziehen an gibt. Dann kann die folgenden Werte annehmen:



Anschließend habe ich jeweils den Wert bestimmt.

Dann gilt

Aber HAL9000 wird sich sicher noch dazu äußern.

Ich war auch an einer Lösung interessiert, daher habe ich das mal ausgerechnet und wollte wissen ob das stimmt. Jetzt eben doch mit Lösungsweg, ich hoffe das ist nicht total falsch und verwirrt jetzt.

Viele Grüße Stevie
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
Ehrlich gesagt bezweifle ich, dass du einfach 2 mal den Wert für den ersten Zug nehmen darfst.

Ob Zweifel oder nicht, jedenfalls wirst du nach deiner alternativen Berechnung nicht bestreiten können, dass es tatsächlich genau der doppelte Wert ist. Die Erklärung dazu habe ich ja oben geliefert. Augenzwinkern

P.S.: Aths hat etwas ungenau gerechnet, was die hinteren Stellen betrifft:

.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL9000,

ist ja echt unintuitiv Big Laugh

wird mal wieder Zeit die Intuition zu ändern Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, erklären wir es mal kombinatorisch:

Wir betrachten mal alle n Münzen als unterscheidbar, und ziehen n-mal nacheinander ohne Zurücklegen. Dann ist für jede einzelne Münze die Wahrscheinlichkeit, dass sie in Zug (mit k=1..n) gezogen wird, gleich - Begründung:

Jede Zugfolge wird durch eine Permutation der Münzen beschrieben, es gibt insgesamt solche Permutationen, und alle sind sie gleichwahrscheinlich. Wenn wir nun nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dass eine konkrete Münze in Zug gezogen wird, dann müssen wir die Permutationen zählen, die zu diesem Ereignis gehören, und diese Anzahl ist genau (die eine liegt fest, alle anderen - egal ob vorher oder nachher in der Position - dürfen permutieren). Das ergibt die gesuchte Laplace-Wahrscheinlichkeit .

P.S.: Es ist übrigens für die Wahrscheinlichkeiten ganz egal, ob man die vollständigen n-mal zieht, oder wie hier in der Aufgabe nur zweimal: Ob man nun weiterzieht oder nicht, hat für die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse der zurückliegenden Züge keinen Einfluss.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön erklärt Freude Freude Freude

Danke Wink
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten. Also ist meine Lösung richtig, auch wenn ich gerundet habe und wenn man zwei Münzen ohne zurücklegen nimmt?

Ich habe noch eine Aufgabe: Es gibt ein Glücksrad mit 3 Bereichen, der blaue nimmt die Hälfte ein, die anderen beiden Farben jeweils ein Viertel. Man zahlt 0,50€ und dreht dann, wenn man zwei gleiche Farben hat, dann bekommt man 1€.
Als Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Farben kommen bei 62,5%, dass die gleiche kommt bei 37,5%. Also liegt der Erwartungswerz bei -0,5*0,625+1*0,375= 0,065€.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aths
Also liegt der Erwartungswerz bei -0,5*0,625+1*0,375= 0,065€.

Tatsächlich ? Du bekommst 1€ ausgezahlt, hast aber voher 0,50€ Einsatz geleistet...
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Dann -0,5*0,625+0,5*0,375=-0,12625€
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest mal deinen TR überprüfen: Oben schon dieser Fehler in der dritten Nachkommastelle (das war KEIN Rundungsfehler), und nun schon wieder: Es ist

-0,5*0,625+0,5*0,375=-0,125

und zwar exakt.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Nun ist noch eine Aufgabe, wie man den Erwartungswert fair machen kann. Wenn man zwei gleich große Felder macht, den Einsatz und den Gewinn gleich lässt und bei einem Feld den Gewinn bekommt und bei dem anderen nicht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es gibt viele Stellschrauben, an denen man drehen kann, so dass das Spiel fair wird. Ich hätte spontan erst mal dran gedacht, die Spielregeln (u.a. die Feldaufteilung) zu belassen, und nur den Gewinnauszahlungswert zu ändern. Augenzwinkern
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Als Gewinn 1,50€?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Gewinnauszahlung muss im Fall der Fairness bei ansonsten gleichen Gegebenheiten die Gleichung

, d.h.

erfüllen.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. 0,5/0,375= 1,33
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt stimmt's. Freude
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
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