Auf IR^n sind alle Normen äquivalent

13.09.2015, 11:08	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf IR^n sind alle Normen äquivalent Meine Frage: Hallo Leute, Ich habe eine Frage zur folgenden Aussage: "Auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \ n \geq 1 \end{eqnarray}$ sind alle Normen äquivalent ." Gilt das wirklich für alle Normen? Oder nur für alle $\begin{eqnarray} p - \end{eqnarray}$ Normen? $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_p = \sqrt[p]{\sum_{k=1}^n \|x_i\|^p} \ p \in [1, \infty) \end{eqnarray}$ Das es für diese Normen gilt ist mir klar. Aber gibt es nicht auch noch andere Normen? Die mit den $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -Normen zunächst nichts zu tun haben? Meine Ideen: Ich habe gerade gelesen, dass es reicht zu zeigen, dass eine beliebige Norm $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| \end{eqnarray}$ äquivalent ist zur Maximumsnorm $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ . Dort steht auch dabei das es tatsächlich für alle Normen gilt. Interessant Gruß Stevie
13.09.2015, 11:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auf IR^n sind alle Normen äquivalent Es gilt wirklich für alle Normen. Nimm eine konstante C, s.d. $\begin{eqnarray} \\| e_i \\| \leq C \\| e_i\\|_\infty \end{eqnarray}$ für alle Basisvektoren $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ gilt (hier ist es wichtig, dass es nur endlich viele sind), und dann kann man alle weiteren Vektoren als Linearkombination von diesen darstellen. Mit der Dreiecksungleichung und der absoluten Homogenität folgt es sofort. Analog die andere Richtung.
13.09.2015, 13:43	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
@IfindU: Bist du dir sicher, dass es so funktioniert? Ich sehe das nicht.
13.09.2015, 14:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei der einen Richtung so ziemlich. Man bekommt mit $\begin{eqnarray} v = \sum \lambda_i e_i \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \\| v\\| \leq \sum \|\lambda_i\| \\| e_i \\| \leq C \sum \\| v\\|_\infty \leq Cn \\| v\\|_\infty \end{eqnarray}$ . Hier benutzt man, dass man die Unendlich-Norm gut genug kennt um $\begin{eqnarray} \| \lambda_i \| \\| e_i \\|_\infty \leq \\|v\\|_\infty \end{eqnarray}$ schlussfolgern zu koennen. Bei der anderen habe ich mir nicht so viele Gedanken gemacht, aber ich bin davon ausgegangen die schoenen Eigenschaften der Unendlich-Norm retten es auch hier. ... Edit: Die Richtung ist leider komplizierter als ich erwartet habe -- hier stand Müll.
13.09.2015, 14:25	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde dir mal eine PN schreiben, ich glaube das passt nicht in den Thread und würde auch zu viel vorwegnehmen.
13.09.2015, 16:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die andere Richtung betrachte man die $\begin{eqnarray} \lVert\cdot\rVert \end{eqnarray}$ -Norm auf $\begin{eqnarray} (\mathbb R^n,\lVert\cdot\rVert_\infty) \end{eqnarray}$ . Diese Abbildung ist stetig (umgekehrte Dreiecksungleichung und bereits gezeigte Abschätzung), nimmt also auf der kompakten Einheitssphäre ein Minimum annimmt. Dieses ist nicht Null, da die $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ eine Basis bilden. Der Rest ist nur noch Skalierung.
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