Mehrdimensionale Kettenregel anwenden

13.09.2015, 13:11

Seppelkoi

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Mehrdimensionale Kettenregel anwenden

Hallo

smile

Ich habe folgende Aufgabe aus einer alten Klausur dabei:

[attach]39071[/attach]

So, Ideen habe ich hierzu leider keine, nur ein paar einfache Überlegungen bzw. generelle Verständnisprobleme. Zuerst einmal steht da $\begin{eqnarray*} f(x)= \int dy \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): LaTeX berichtigt

Was soll das bedeuten? Ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ also definiert durch das Integral? Müsste es dann nicht $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ sein? Weil das y verschwindet auf den ersten Blick für mich nicht.

Zweitens soll ich die Ableitung der Funktion, also $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen, und diese Funktion ist definiert über ein Integral? Also habe ich quasi eine noch nicht integrierte Funktion zur Verfügung, diese muss ich erst integrieren. Dann bilde ich davon die Ableitung, oder ist das quasi doppelt gemeint?

Durch den Hinweis mit der Zweidimensionalen Kettenregel bin ich zumindest schon einmal so schlau, dass es um eine Jacobimatrix geht. Dazu habe ich mir überlegt, dass ich ja die Dimensionen der Abbildungen brauche, und meiner Meinung nach bilde ich hier R auf R ab, ich habe also keinen Unterschied festgestellt. Das heißt ich habe hier eine ganz gewöhnliche Funktion, die nur über einen "umständlichen" Mehrdimensionalen Weg definiert ist, richtig?

So, ab nun stehe ich aber leider auf dem Schlauch. Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke smile

smile

13.09.2015, 16:20

Che Netzer

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RE: Mehrdimensionale Kettenregel anwenden

Zitat:

Original von Seppelkoi
Was soll das bedeuten? Ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ also definiert durch das Integral? Müsste es dann nicht $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ sein? Weil das y verschwindet auf den ersten Blick für mich nicht.

Das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist die Integrationsvariable und existiert außerhalb des Integrals nicht.

Zitat:

Zweitens soll ich die Ableitung der Funktion, also $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen, und diese Funktion ist definiert über ein Integral? Also habe ich quasi eine noch nicht integrierte Funktion zur Verfügung, diese muss ich erst integrieren. Dann bilde ich davon die Ableitung, oder ist das quasi doppelt gemeint?

Du kannst $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ gar nicht explizit darstellen; $\begin{eqnarray*} \frac{\sin y}y \end{eqnarray*}$ hat (nach einem Satz von Liouville) keine elementare Stammfunktion.

Schreib das Integral als
$\begin{eqnarray*} \int_1^z\frac{\sin(xy)}y\dd y \end{eqnarray*}$
und vergiss für einen kurzen Moment, dass $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt.

13.09.2015, 20:53

Seppelkoi

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Ich weiß, das hört sich jetzt sau doof an, aber was muss ich denn als ersten Schritt tun, um die Aufgabe zu lösen? Dein aufgeschriebenes Integral mit $\begin{eqnarray*} z=\frac{\pi}{x} \end{eqnarray*}$ ?

13.09.2015, 21:06

Che Netzer

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Wie schon gesagt: Du kannst das Integral nicht auflösen.

Wieviele Variablen siehst du denn in der Form, die ich dir aufgeschrieben habe? Kannst du nach ihnen ableiten?

14.09.2015, 07:22

Leopold

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@ Seppelkoi

Wenn der vorgeschlagene Lösungsweg erfolgreich bewältigt ist, kannst du noch die folgende Alternative probieren:

Nach der Substitution $\begin{align*} xy = t \end{align*}$ (mit $\begin{align*} y,t \end{align*}$ als den jeweiligen Integrationsvariablen) erhält man einen von $\begin{align*} x \end{align*}$ unabhängigen Integranden, so daß es sich im wesentlichen um eine Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung handelt.

14.09.2015, 08:28

Seppelkoi

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Zitat:

Original von Che Netzer
Wie schon gesagt: Du kannst das Integral nicht auflösen.

Wieviele Variablen siehst du denn in der Form, die ich dir aufgeschrieben habe? Kannst du nach ihnen ableiten?

Also ich sehe nun x, y und z. Aber warum ableiten? Ich denke ich soll integrieren? Wie von mir schon gesagt: Ich hab bei der Aufgabe allgemeine Verständnisprobleme, weil ich nicht weiß, was der Aufgabensteller genau von mir will.

Einen Weg zur Lösung sehe ich auch nicht.

Deswegen noch mal meine Frage, soll ich das Integral ableiten, integrieren, schief angucken oder nach dem Wetter fragen? Du hast mir den Tipp gegeben, dass der "y-Teil" des Integrals keine Stammfunktion besitzt, ok. Aber da steht doch hinten dran dy. dy am Ende eines Integrationsterms bedeutete für mich bislang immer, dass ich was mit der Variable y machen soll, die nämlich integrieren.

Der Hauptsatz besagt, dass die Ableitung der Stammfunktion gleich der Ausgangsfunktion ist, wenn es eine reellwertige stetige Funktion ist. Also $\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle x im Intervall, auf dem die Funktion definiert ist.

Also kann ich die Funktion nun ableiten, um $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ zu bekommen. Meine Frage wäre nur, wie erkenne ich denn, nach was ich ableiten muss? Nach x, y oder z? Spontan würde ich jetzt sagen nach y, da ich ja auch nach y integriere (dies meine ich zumindest durch dy zu erkennen).

Kann sein, dass das alles ein bisschen wirr ist, aber ich tu mir grad echt schwer. Vielleicht war es ja der Gedankengang mit dem Hauptsatz, der mir bislang fehlte.

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14.09.2015, 08:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Also ich sehe nun x, y und z.

Nochmal: Die Funktion hängt nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab. Vergleich das mal mit $\begin{eqnarray*} \int_0^12y\,\dd y=1 \end{eqnarray*}$ . Dieser Ausdruck hängt ja wohl auch nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab. Hier in deinem Fall kommt nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ heraus, sondern irgendeine andere Zahl, welche von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ genannt wird.

Zitat:

Aber warum ableiten?

Weil das die Aufgabe ist. Du sollst $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen, also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ableiten.

Zitat:

Ich denke ich soll integrieren?

Das hat niemand gesagt. Nur weil du irgendwo ein Integral siehst, sollst du dich nicht sofort draufstürzen und versuchen, es zu lösen. Das ist hier wie gesagt auch gar nicht möglich. Es wird dir nicht möglich sein, einen "zufriedenstellenden" Ausdruck für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ zu finden, in dem kein Integral mehr auftaucht. D.h. das Integral ist "nicht lösbar".

Zitat:

Wie von mir schon gesagt: Ich hab bei der Aufgabe allgemeine Verständnisprobleme, weil ich nicht weiß, was der Aufgabensteller genau von mir will.

Der Aufgabensteller möchte, dass du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , also das gegebene Integral, nach der (bisher einzig vorhandenen) Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableitest.

Zitat:

Einen Weg zur Lösung sehe ich auch nicht.

Wenn ich meinen Ausdruck $\begin{eqnarray*} g(x,z) \end{eqnarray*}$ nenne, also
$\begin{eqnarray*} g(x,z)=\int_1^z\frac{\sin(xy)}y\,\dd y\,, \end{eqnarray*}$
und so eine Funktion $\begin{eqnarray*} g\colon(0,\infty)\times(0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiere, findest du dann irgendeine geeignete Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f=g\circ h \end{eqnarray*}$ ?
Dann kannst du die Kettenregel anwenden.

Zitat:

Du hast mir den Tipp gegeben, dass der "y-Teil" des Integrals keine Stammfunktion besitzt, ok.

Es gibt nichts wie einen "y-Teil".

Zitat:

Also kann ich die Funktion nun ableiten, um $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ zu bekommen.

Welche Funktion? Du hast doch gar keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Meine Frage wäre nur, wie erkenne ich denn, nach was ich ableiten muss? Nach x, y oder z?

Das Ziel ist, den gesamten Ausdruck nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abzuleiten. Bei Anwendung der Kettenregel wirst du auch noch nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ableiten müssen.

Zitat:

Spontan würde ich jetzt sagen nach y, da ich ja auch nach y integriere (dies meine ich zumindest durch dy zu erkennen).

Wie gesagt ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Integrationsvariable. Außerhalb des Integrals gibt es gar kein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , nach dem du ableiten könntest.

14.09.2015, 09:25

Seppelkoi

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Also wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(xy)*y^{-1} \end{eqnarray*}$ nach x ableite erhalte ich $\begin{eqnarray*} f'(x)=ycos(xy) \end{eqnarray*}$

Wie mache ich das aber nun mit dem z? Das steht ja als Grenze im Integral, wie kann man so etwas denn ableiten? Dafür müsste ich doch erst das Integral "ausschreiben" oder?

14.09.2015, 09:26

Seppelkoi

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Natürlich erhalte ich $\begin{eqnarray*} f'(x)= cos(xy) \end{eqnarray*}$

Hab das Kürzen irgendwie verpeilt.

14.09.2015, 09:28

Che Netzer

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Also wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(xy)*y^{-1} \end{eqnarray*}$ nach x ableite

Seit wann ist das bitte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Das steht ja als Grenze im Integral, wie kann man so etwas denn ableiten?

Das Stichwort "Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung" fiel doch schon...

Versuch am besten erst einmal, ein besagtes $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ zu finden.

14.09.2015, 09:45

Seppelkoi

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Ich verstehe das nicht.

Du meinst bestimmt das h in $\begin{eqnarray*} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \end{eqnarray*}$ .

14.09.2015, 09:51

Che Netzer

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Hast du diesen Beitrag überhaupt gelesen? verwirrt

verwirrt

14.09.2015, 09:55

Seppelkoi

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Ja

14.09.2015, 10:29

HAL 9000

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Vermutlich hat dich der viele Text überfahren. Konzentriere dich doch mal auf diese Frage:

Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn ich meinen Ausdruck $\begin{eqnarray*} g(x,z) \end{eqnarray*}$ nenne, also
$\begin{eqnarray*} g(x,z)=\int_1^z\frac{\sin(xy)}y\,\dd y\,, \end{eqnarray*}$
und so eine Funktion $\begin{eqnarray*} g\colon(0,\infty)\times(0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiere, findest du dann irgendeine geeignete Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f=g\circ h \end{eqnarray*}$ ?

Konkret: Was ist in $\begin{eqnarray*} f(x) = \int_1^{\frac{\pi}{x}} \frac{\sin(xy)}y ~ \dd y = g(?,?) \end{eqnarray*}$ für die beiden Fragezeichen einzusetzen?

14.09.2015, 10:52

Seppelkoi

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Hab mir jetzt mal selbst geholfen und das Ganze mal mit der Leibniz-Regel für Parameterintegrale versucht (keine Ahnung, ob die hier anwendbar ist, es kam mir aber so vor):

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \int_{1}^{\frac{\pi}{x} } \! \frac{sin(xy)}{y} \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x)=1 , u'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o(x)=\frac{\pi}{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} o'(x)=-\frac{\pi}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(y,x)=\frac{sin(xy)}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(u(x),x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(o(x),x)=\frac{sin(x*(-\frac{\pi}{x^2})}{-\frac{\pi}{x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(h(y,x))=cos(xy) \end{eqnarray*}$

So damit hab ich dann wohl alles bestimmt und kann einfach einsetzen, wofür sich ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{\pi}{x^2}sin(-\frac{x\pi}{x^2}) }{\frac{\pi}{x^2} } - 0*sin(x)+\int_{1}^{\frac{\pi}{x} } \! cos(xy) \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =sin(-\frac{\pi}{x})+\int_{1}^{\frac{\pi}{x} } \! cos(xy) \, dy \end{eqnarray*}$

und das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} sin(-\frac{\pi}{x})-sin(x) \end{eqnarray*}$

als Endergebnis.

Sorry, wenn ich die Ausführungen hier nicht verstanden habe. Ich habe dann mal gegoogelt und versucht, selbst einen Weg zu finden. Kann ich diesen Weg hier verwenden? Ich würde danach gerne noch über das Diskutieren, was ich nicht verstanden habe. Da ich sehr lange brauche, um das hier zu schreiben und zu rechnen, weiß ich nicht, ob du mittlerweile eine für mich einfacher verständliche Antwort postest, deswegen bitte nicht böse sein.

Ich wollte es einfach mal versuchen.

14.09.2015, 11:29

HAL 9000

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Ich hab mir deine Zwischenschritte nicht angeschaut - das Endergebnis ist jedenfalls meilenweit vom richtigen Ergebnis entfernt, das hat eine völlig andere Termstruktur. unglücklich

unglücklich

EDIT: Falsch ist zunächst mal dies

Zitat:

Original von Seppelkoi
$\begin{eqnarray*} h(o(x),x)=\frac{sin(x*(-\frac{\pi}{x^2})}{-\frac{\pi}{x^2}} \end{eqnarray*}$

warum setzt du da $\begin{align*} o'(x) \end{align*}$ statt $\begin{align*} o(x) \end{align*}$ ein? unglücklich

unglücklich

Und die Berechnung des Integrals $\begin{align*} \int\limits_1^{\frac{\pi}{x}} \cos(xy) ~ \dd y \end{align*}$ ist dir völlig misslungen.

Grundsätzlich ist die Leibnizformel, und die beabsichtigte Anwendung mit deinen $\begin{align*} h,u,o \end{align*}$ aber richtig. Allerdings ist das Wechseln der Pferde mitten im Rennen nicht gerade ein Vertrauensbeweis in die Helfer - wenn überhaupt, dann wäre der Wechsel zu Leopolds Vorschlag die beste Idee gewesen.

14.09.2015, 17:33

Seppelkoi

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Wenn ich es doch aber nicht verstehe, was soll ich denn machen. Zeigt man keine Eigeninitiative ist es schlecht, versucht man es selbst auf eine andere Weise ist es schlecht, man kann es euch auch irgendwie nie recht machen.

Danke, ich hab gar nicht bemerkt, dass ich da falsch eingesetzt habe, ist mir nur durch dich aufgefallen. Ich hab es jetzt nochmal probiert (mit genauem Weg, dir wird sicherlich sofort auffalllen, was bei meinem Integral schief läuft)

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{x}*\frac{sin(x*\frac{\pi}{x})}{\frac{\pi}{x}}-0*sin(x)+\int_{1}^{\frac{\pi}{x}} \! cos(xy) \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =sin(\pi) + \int_{1}^{\frac{\pi}{x}} \! cos(xy) \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =sin(\pi)+[\frac{sin(x*\frac{\pi}{x})}{\frac{\pi}{x}}]-[\frac{sin(x*1)}{1}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sin(\pi)+\frac{sin(\pi)}{\frac{\pi}{x}}-sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0+0-sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-sin(x) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Kontrolle! smile

smile

14.09.2015, 17:36

HAL 9000

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Leider wieder falsch: Es wird NICHT bzgl. $\begin{align*} x \end{align*}$ , sondern bzgl. $\begin{align*} y \end{align*}$ integriert, und damit ist die Stammfunktion von $\begin{align*} \cos(xy) \end{align*}$ nicht $\begin{align*} \frac{\sin(xy)}{y} \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \frac{\sin(xy)}{x} \end{align*}$ !!!

14.09.2015, 20:26

Seppelkoi

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Vielen Dank Hal,

aber warum genau ist das so? Ich dachte das $\begin{eqnarray*} dy \end{eqnarray*}$ am Anfang bleibt unberührt smile

smile

Muss ich immer nach der gesuchten Ableitung integrieren? Das würde ja Sinn ergeben, da ja nach $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ und nicht nach $\begin{eqnarray*} f'(y) \end{eqnarray*}$ gefragt ist.

Das bedeutet, es steht dor kein $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ sondern ein $\begin{eqnarray*} dy \end{eqnarray*}$ smile

smile

Ich rechne das dann nochmal und poste meinen Weg hier, danke für die Tipps! smile

smile

14.09.2015, 21:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seppelkoi
aber warum genau ist das so? Ich dachte das $\begin{eqnarray*} dy \end{eqnarray*}$ am Anfang bleibt unberührt smile

smile

Ehrlich gesagt verstehe ich diese vom Thema ablenkende schräge Rumdiskutiererei nicht. unglücklich

unglücklich

Was ist nun richtig,

a) $\begin{align*} \frac{\dd}{\dd y} \left( \frac{\sin(xy)}{x} \right) = \cos(xy) \end{align*}$

oder

b) $\begin{align*} \frac{\dd}{\dd y} \left( \frac{\sin(xy)}{y} \right) = \cos(xy) \end{align*}$ ?

Das und nur das ist entscheidend bei der Berechnung von $\begin{align*} \int\limits_1^{\frac{\pi}{x}} \cos(xy) ~ \dd y \end{align*}$ über den Hauptsatz.

14.09.2015, 22:40

Seppelkoi

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a) ist richtig.

15.09.2015, 08:58

HAL 9000

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Eben. Dementsprechend ist

$\begin{align*} \int\limits_1^{\frac{\pi}{x}} \cos(xy) ~ \dd y = \Big[ \frac{\sin(xy)}{x} \Big]_{y=1}^{\frac{\pi}{x}} = 0 - \frac{\sin(x\cdot 1)}{x} = -\frac{\sin(x)}{x} \end{align*}$ . <-- EDIT (Schreibfehler): Obere Grenze ist natürlich $\begin{align*} {\color{red}\frac{\pi}{x}} \end{align*}$ statt $\begin{align*} {\color{red}\infty} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Seppelkoi
Muss ich immer nach der gesuchten Ableitung integrieren? Das würde ja Sinn ergeben, da ja nach $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ und nicht nach $\begin{eqnarray*} f'(y) \end{eqnarray*}$ gefragt ist.

Vordergründig ist nach der Ableitung $\begin{align*} f' \end{align*}$ gefragt - dass dort dann das Argument $\begin{align*} x \end{align*}$ genannt wird, ist sekundär.

Man hätte auch nach der Ableitung von

$\begin{align*} f(t) = \int\limits_1^{\frac{\pi}{t}} \frac{\sin(tu)}{u} ~ \dd u \end{align*}$

fragen können, das ist mathematisch völlig äquivalent. Genauso kannst du nach $\begin{align*} f'(y) \end{align*}$ fragen - was du nur nicht machen darfst:

Für die Integrationsvariable dasselbe Symbol wie für das Funktionsargument nehmen - das ist ein Konflikt, da dann innerhalb des Integrals nicht klar ist, ob mit dem Symbol nun gerade die Integrationsvariable oder das Funktionsargument gemeint ist! Bei konfliktfreier Symbolwahl gilt dann das, was Che oben schon sagte:

Zitat:

Original von Che Netzer
Das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist die Integrationsvariable und existiert außerhalb des Integrals nicht.

15.09.2015, 10:27

Seppelkoi

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Also hab ich einfach nur die Stammfunktion falsch bestimmt. Ich habe nicht darauf geachtet, dass da was anderes passiert, sondern bin blind davon ausgegangen, es muss ja das selbe rauskommen wie vorher.

Mit dem Satz, dass die Integrationsvariable außerhalb des Integrals nicht existiert, und deinem Beispiel mit den ts und US hab ich es glaube verstanden. Denn wenn ich das integral integriere, dann setze ich ja die Grenzen in die variable ein und ziehe dann voneinander ab, um das bestimmte Integral zu erhalten. Nur in der stammfunktion ist die Variable noch da (klingt jetzt irgendwie furchtbar logisch).

Deswegen kann ich jetzt auch nachvollziehen, warum da überhaupt ein Y ist, denn ich kann ja nicht nach x integrieren wenn in der Funktion dann schon ein x steht.

Wenn du mir jetzt noch erklärst, warum du Unendlich für pi/x als Grenze nimmst, bin ich glücklich.

15.09.2015, 10:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seppelkoi
Wenn du mir jetzt noch erklärst, warum du Unendlich für pi/x als Grenze nimmst, bin ich glücklich.

Da hast du mal mich beim Schreibfehler erwischt - zu viele Threads im MUltitasking haben eben doch ihre Auswirkung. Big Laugh

Big Laugh

Wird korrigiert.

15.09.2015, 10:59

Seppelkoi

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Du musst nicht immer sofort oder zeitnah antworten, ich habe viel Zeit (hab ja mit ausreichend Zeit angefangen, mich auf die Klausur vorzubereiten).

Ich freu mich schon, dass du mir überhaupt hilfst smile

smile

In diesem Sinne Prost

Prost

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