Vektorraum: Basis und Koordinaten

13.09.2015, 13:17

jhgjgh

Vektorraum: Basis und Koordinaten

Meine Frage:
Hallo!

Ich versuche gerade, den Zusammenhang zwischen Basis und Koordinaten zu verstehen.

Meine Ideen:
Was ich bisher weiß: Wenn ich einen Vektor als Linearkombination der Standardbasis schreibe, dann sind die Koeffizienten dieser Lin-Komb gerade die Koordinaten dieses Vektors.

Jetzt braucht man Basen wohl dazu, um in beliebigen Vektorräumen mit Koordinaten zu rechnen.

In dem Mathebuch, das ich gerade anschaue, stehen dazu ein paar Sachen:

a) Die Koordinaten eines Vektors hängen von der gewählten Basis ab.
- Okay, das verstehe ich auch, denke ich: Denn je nach gewählter Basis habe ich ja andere Summanden in der Linearkombination.

b) Die Koordinaten hängen von der Reihenfolge der Basisvektoren ab. Das verstehe ich nicht. Welche Reihenfolge ist hier gemeint? Die Reihenfolge innerhalb der Linearkombination? Leider gibt's dazu in dem Buch kein Beispiel.

c) Dann berechnet der Autor die Koordinaten der Basisvektoren selber. Als Ergebnis erhält er dann Vektoren der Form (1 0 0 0 ...) (0 1 0 0 ...) (0 0 1 0 ...) usw.
Und schreibt dazu Folgendes:

"Hoppla, das kommt Ihnen sicher bekannt vor. Genauso sahen doch die Koordinaten der
Basis des R^1048607n aus, die wir einmal Standardbasis genannt haben. Jetzt haben wir eine ganz erstaunliche Entdeckung gemacht. Bei der Rechnung mit Koordinaten ist eine Basis so gut wie jede andere. Die Basisvektoren haben immer die Koordinaten der Standardbasis.
Auch im R^1048607n gibt es keine in irgendeiner Weise ausgezeichnete Basis: Wenn wir beispielsweise mit den Vektoren des 1048607R^3 arbeiten, um den Raum in dem wir leben zu beschreiben, so suchen wir uns zunächst eine Basis, das heißt einen Ursprung und drei Vektoren bestimmter Länge, die nicht in einer Ebene liegen. Dann rechnen wir mit Koordinaten bezüglich dieser Basis. Diese zufällig gewählte Basis ist unsere "Standardbasis"."

Und das blicke ich nicht. Standardbasis hier für mich immer: Nimm die Vektoren, die einen Koordinaten =1 haben und den Rest nur 0.

Im R^3 ist die Standardbasis also (1 0 0) (0 1 0) und (0 0 1).

"Die Basisvektoren haben immer die Koordinaten der Standardbasis." Was ist daran jetzt so überraschend?

Was genau soll ich hier verstehen?

Also dass sich die Koordinaten eines Vektors je nach Basis ändern, okay. Aber was bedeutet "Eine Basis ist so gut wie jede andere"?

13.09.2015, 13:27

Elvis

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Beispiel b) $\begin{eqnarray*} x=1*b_1+2*b_2=2*b_2+1*b_1 \end{eqnarray*}$ . Hier hängen die Koordinaten von x von der Reihenfolge der Basisvektoren ab.

zu c) $\begin{eqnarray*} b_1=1*b_1+0*b_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{b_1,b_2}=0*b_2+1*b_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}_{b_2,b_1}, b_2=0*b_1+1*b_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}_{b_1,b_2}=1*b_2+0*b_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{b_2,b_1} \end{eqnarray*}$

Das ist erstaunlich: Jede Basis ist in sich selbst die Standardbasis, in einer anderen Basis aber nicht.

13.09.2015, 14:54

jhgjgh

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zu b) Verstehe ich nicht. Angenommen b $\begin{eqnarray*} _1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ und b $\begin{eqnarray*} _2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{0}{1} \end{eqnarray*}$ , dann kommt doch beides mal $\begin{eqnarray*} \binom{1}{2} \end{eqnarray*}$ raus, egal, wie rum ich rechne...

zu c) Verstehe ich auch nicht. Was sollen mir die Gleichungen sagen? Was bedeutet "Jede Basis ist in sich selbst die Standardbasis, in einer anderen Basis aber nicht."?

13.09.2015, 18:06

Elvis

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zu b) falsch. es ist $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}_{b_1,b_2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}_{b_2,b_1} \end{eqnarray*}$

zu c) Die Koordinaten eines Vektors hängen immer von der Basis ab. Deshalb schreibe ich die ( geordnete ! ) Basis an die Koordinatendarstellung der Vektoren.

13.09.2015, 20:56

jhgjgh

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also 1 * $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ + 2 * $\begin{eqnarray*} \binom{0}{1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \binom{0}{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{1}{2} \end{eqnarray*}$

2 * $\begin{eqnarray*} \binom{0}{1} \end{eqnarray*}$ + 1 * $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{0}{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{1}{2} \end{eqnarray*}$

oder rechne ich da falsch?

c) Dass die Koordinaten von der Basis abhängen weiß ich, nur dass mit dem "eine Basis ist so gut wie jede andere" verwirrt mich... und "die Basisvektoren haben immer die Koordinaten der Standardbasis".

Also angenommen das folgende wäre eine Basis

{ $\begin{eqnarray*} \binom{2}{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \binom{1}{-2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \binom{5}{8} \end{eqnarray*}$ }, dann haben doch die Vektoren hier ganz andere Koordinaten als die Standardbasis im R³?

14.09.2015, 10:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von jhgjgh
also 1 * $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ + 2 * $\begin{eqnarray*} \binom{0}{1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \binom{0}{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{1}{2} \end{eqnarray*}$

2 * $\begin{eqnarray*} \binom{0}{1} \end{eqnarray*}$ + 1 * $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{0}{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom{1}{2} \end{eqnarray*}$

oder rechne ich da falsch?

Die Vektoren einer Basis werden der Reihe nach durchnummeriert, also (v_1, v_2, ..., v_n) ist eine andere Basis als (v_2, v_1, ..., v_n) . Also nicht nur andere Vektoren, auch eine andere Reihenfolge ergeben eine andere Basis. smile

Zitat:

Original von jhgjgh
Also angenommen das folgende wäre eine Basis

{ $\begin{eqnarray*} \binom{2}{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \binom{1}{-2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \binom{5}{8} \end{eqnarray*}$ }, dann haben doch die Vektoren hier ganz andere Koordinaten als die Standardbasis im R³?

Was haben diese Vektoren mit dem R³ zu tun? Obendrein ist das keine Basis, da diese Vekoren linear abhängig sind.

14.09.2015, 11:39

Elvis

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@jhgjgh
Vielleicht müssen wir weiter vorn anfangen, denn Du scheinst nicht zu verstehen, was eine Basis ist. Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionaler Vektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , dann hat $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine Basis $\begin{eqnarray*} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray*}$ , das ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , d.h. jeder Vektor $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ hat eine eindeutige Darstellung $\begin{eqnarray*} x=x_1b_1+...+x_nb_n \end{eqnarray*}$ , und dann ist $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ seine Koordinatendarstellung in dieser Basis.

Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} b_i=0b_1+...+1b_i+...+0b_n=\begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ... \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ an der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Stelle , $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$ die Standardbasis des $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ , und das ist völlig unabhängig von der gewählten Basis.

noch einmal zu Teil b) : Du rechnest richtig, aber was Du rechnest ist sinnlos. Du darfst nicht nur in Koordinaten rechnen, Du musst in den verschiedenen Basen rechnen. Wenn Du die Basis $\begin{eqnarray*} b_2,b_1 \end{eqnarray*}$ wieder zur Basis $\begin{eqnarray*} b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ machst bevor Du rechnest, kannst Du mein Beispiel niemals verstehen. $\begin{eqnarray*} x=b_1+2b_2=2b_2+b_1 \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor, unabhängig von der Basis (das muss nach dem Kommutativgesetz in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ so sein), aber $\begin{eqnarray*} b_1+2b_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ unterscheidet sich als Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} 2b_2+b_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Einmal wird in der Basis $\begin{eqnarray*} b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ gerechnet, das andere mal in der Basis $\begin{eqnarray*} b_2,b_1 \end{eqnarray*}$ . In der Basis $\begin{eqnarray*} b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} b_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . In der Basis $\begin{eqnarray*} b_2,b_1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} b_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dein Buch versucht Dir beizubringen, dass der Begriff Basis viel wichtiger ist als die daraus abgeleiteten Begriffe Koordinatensystem, Koordinatenvektor und Standardbasis.

14.09.2015, 19:16

jhgjgh

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puh.. also es gibt diese Standardbasis... die gilt in allen Vektorräumen, verstehe ich das richtig? Du schreibst ja K^n, das umfasst ja auch Vektorräume über den komplexen Zahlen, oder?

So, die Standardbasis hat also Vektoren, die eine Koordinate = 1 haben und alle anderen = 0, um es mal flapsig auszudrücken. Auch gut.

Nur was ich überhaupt nicht verstehe: Wieso ist b $\begin{eqnarray*} _2 \end{eqnarray*}$ einmal $\begin{eqnarray*} {1 \choose 0} \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} {0 \choose 1} \end{eqnarray*}$ ? Ich dachte, bb $\begin{eqnarray*} _2 \end{eqnarray*}$ ist der Basisvektor, in dem die 1 als zweite Koordinate vorkommt...

Ich meine, eine Basis ist doch eine kleinstmögliche Menge von linear unabhängigen Vektoren und in einer Menge spielt doch die Reihenfolge der Elemente keine Rolle... d. h. der Vektor b $\begin{eqnarray*} _2 \end{eqnarray*}$ sollte doch immer der Vektor b $\begin{eqnarray*} _2 \end{eqnarray*}$ sein...

14.09.2015, 19:26

Elvis

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K ist ein beliebiger Körper, z.B. rational, reell, komplex, algebraisch, p-adisch, Funktionenkörper, endlicher Körper, ...

Immer noch falsch, es gibt nicht "die Standardbasis". Das ist ein Märchen für kleine Kinder, dieses Märchen wird in der Schule erzählt.
Es gibt "eine Basis", daraus kann man für jeden Vektor einen Koordinatenvektor machen. Wenn man die Koordinatenvektoren der Basisvektoren betrachtet, nennt man diese Koordinatenvektoren "Standardbasis".

Ja, b=b ist richtig für jeden Vektor b. Das gilt aber nicht für seine Koordinaten, die sind von der Basis abhängig. Genau beim Übergang von einer Basis (Menge, ungeordnet) zu einem (geordneten) Koordinatentupel spielt die Ordnung der Basis eine entscheidende Rolle.

14.09.2015, 20:11

jhgjgh

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also du verwirrst mich gerade komplett...

Zitat:

Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} b_i=0b_1+...+1b_i+...+0b_n=\begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ... \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ an der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Stelle , $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$ die Standardbasis des $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ , und das ist völlig unabhängig von der gewählten Basis.

Das klingt für mich so, als ob es in jedem Vektorraum eine Standardbasis gibt. Im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ ist das $\begin{eqnarray*} {1 \choose 0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {0 \choose 1} \end{eqnarray*}$ und im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ein Vektor kann als Linearkombination dieser Basis geschrieben werden. Dann hat der bestimmte Koordinaten.

Wenn ich eine andere Basis in $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ wähle, dann hat derselbe Vektor andere Koordinaten, richtig?

Könntest du mir die Aussage "Die Basisvektoren haben immer die Koordinaten der Standardbasis." erläutern? Was ist denn der Unterschied zwischen Basisvektoren und Standardbasis?

14.09.2015, 22:42

Elvis

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Ein Vektorraum enthält Vektoren. Eine Basis enthält Vektoren. Die Standardbasis enthält geordnete Skalartupel.

Vielleicht hilft es Dir auch, die Sache einmal so zu betrachten, wie manche Physiker das gerne tun:

Sei $\begin{eqnarray*} \{b_1,b_2\} \end{eqnarray*}$ eine Basis und $\begin{eqnarray*} b_1'=b_2,b_2'=b_1 \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} \{b_1',b_2'\} \end{eqnarray*}$ eine Basis, und ein Vektor $\begin{eqnarray*} x=x_1b_1+x_2b_2=x_2b_1'+x_1b_2'=x_1'b_1'+x_2'b_2' \end{eqnarray*}$ , dann ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}_{b_1,b_2}=\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}_{b_1',b_2'}=\begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \end{pmatrix}_{b_1',b_2'}=\begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \end{pmatrix}_{b_2,b_1} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat basisabhängige Koordinatendarstellungen.

Ausserdem musst Du Beispiele betrachten, die nicht so simpel sind wie $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ , denn in diesen rechnet man sowieso immer nur mit Koordinatenvektoren. Wie willst Du Dir denn z.B. eine Standardbasis in folgendem Vektorraum vorstellen:
Sei $\begin{eqnarray*} U=\mathbb F_7[X] \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der Polynome über dem endlichen Körper mit 7 Elementen, sei weiter $\begin{eqnarray*} p\in U \end{eqnarray*}$ ein irreduzibles Polynom 8. Grades und $\begin{eqnarray*} V=\mathbb F_7[X]/(p(X)) \end{eqnarray*}$ der konkrete Körper mit $\begin{eqnarray*} 7^8=5764801 \end{eqnarray*}$ Elementen, dies ist insbesondere ein $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7 \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Wir betrachten den Dualraum $\begin{eqnarray*} V^*=\{f:V\to \mathbb F_7\} \end{eqnarray*}$ , das ist der Vektorraum der linearen Abbildungen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} K=\mathbb F_7 \end{eqnarray*}$ , davon den Dualraum $\begin{eqnarray*} V^{**} \end{eqnarray*}$ und davon den Dualraum $\begin{eqnarray*} V^{***} \end{eqnarray*}$ . Gib die Standardbasis an. Augenzwinkern

(Ich gebe zu, dass ich mir die Vektoren dieses Raumes nicht vorstellen kann.)

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